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Chapter 26

by: Aaditya Solanki

Chapter 26 PHYS 212

Aaditya Solanki
Penn State
GPA 3.9

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ch 26 problems
Physics 212
75 ?




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This 34 page Bundle was uploaded by Aaditya Solanki on Friday September 30, 2016. The Bundle belongs to PHYS 212 at Pennsylvania State University taught by in Fall 2016. Since its upload, it has received 5 views. For similar materials see Physics 212 in Science at Pennsylvania State University.

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Date Created: 09/30/16
9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Chapter 26 Problems for a grade Due: 11:59pm on Tuesday, September 27, 2016 To understand how points are awarded, read the Grading Policy for this assignment. Electric Fields and Forces Learning Goal: To understand Coulomb's law, electric fields, and the connection between the electric field and the electric force. Coulomb's law gives the electrostatic forceF  acting between two charges. The magnitude  F  of the force between two charges  q  and q  depends on the product of the charges and the square of the distance  r  between the charges: 1 2 F =k |q1q2|, r2 where k = 1/(4πϵ ) = 8.99 × 10 N ⋅ m /C 2 2. The direction of the force is along the line connecting the two charges. If the 0 charges have the same sign, the force will be repulsive. If the charges have opposite signs, the force will be attractive. In other words, opposite charges attract and like charges repel. Because the charges are not in contact with each other, there must be an intermediate mechanism to cause the force. This mechanism is the electric field. The electric field at any location is equal to the force per unit charge experienced by a charge placed at that location. In other words, if a charq experiences a force F , the electric fieEd at that point is ⃗  E= ⃗  F . q The electric field vector has the same direction as the force vector on a positive charge and the opposite direction to that of the force vector on a negative charge. An electric field can be created by a single charge or a distribution of charges. The electric field a disra from a point charge  q′ has magnitude |q | E=k 2 . r The electric field points away from positive charges and toward negative charges. A distribution of charges creates an electric field that can be found by taking the vector sum of the fields created by individual point charges. Note that if a chq is placed in an electric field created qy,q  will not significantly affect the electric field if it is small comqa.ed to  Imagine an isolated positive point charge with a chargeQ  (many times larger than the charge on a single electron). Part A There is a single electron at a distance from the point charge. On which of the following quantities does the force on the electron depend? Check all that apply. ANSWER: 1/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade  the distance between the positive charge and the electron  the charge on the electron  the mass of the electron  the charge of the positive charge  the mass of the positive charge  the radius of the positive charge  the radius of the electron Correct According to Coulomb's law, the force between two particles depends on the charge on each of them and the distance between them. Part B For the same situation as in Part A, on which of the following quantities does the electric field at the electron's position depend? Check all that apply. ANSWER:  the distance between the positive charge and the electron  the charge on the electron  the mass of the electron  the charge of the positive charge  the mass of the positive charge  the radius of the positive charge  the radius of the electron Correct The electrostatic force cannot exist unless two charges are present. The electric field, on the other hand, can be created by only one charge. The value of the electric field depends only on the charge producing the electric field and the distance from that charge. Part C −6 If the total positive chargQ  = 1.62×10  C , what is the magnitude of the electric field caused by this charge at point P, a distanced = 1.53 m  from the charge? Enter your answer numerically in newtons per coulomb. 2/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade ANSWER: E P =  6220 N/C    Correct Part D What is the direction of the electric field at point P? Enter the letter of the vector that represents the direction of  → E P. ANSWER: G Correct Part E Now find the −19nitude of the force on an electron placed at point P. Recall that the charge on an electron has magnitude  e = 1.60 × 10 C . Enter your answer numerically in newtons. 3/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Hint 1. Determine how to approach the problem What strategy can you use to calculate the force between the positive charge and the electron? ANSWER:  Use Coulomb's law.  Multiply the electric field due to the positive charge by the charge on the electron.  Do either of the above.  Do neither of the above. ANSWER: F  = 9.95×10 −16  N    Correct Part F What is the direction of the force on an electron placed at point P? Enter the letter of the vector that represents the direction of  ⃗  F . ANSWER: C Correct Visualizing Electric Fields Learning Goal: To understand the nature of electric fields and how to draw field lines. 4/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Electric field lines are a tool used to visualize electric fields. A field line is drawn beginning at a positive charge and ending at a negative charge. Field lines may also appear from the edge of a picture or disappear at the edge of the picture. Such lines are said to begin or end at infinity. The field lines are directed so that the electric field at any point is tangent to the field line at that point. shows two different ways to visualize an electric field. On the left, vectors are drawn at various points to show the direction and magnitude of the electric field. On the right, electric field lines depict the same situation. Notice that, as stated above, the electric field lines are drawn such that their tangents point in the same direction as the electric field vectors on the left. Because of the nature of electric fields, field lines never cross. Also, the vectors shrink as you move away from the charge, and the electric field lines spread out as you move away from the charge. The spacing between electric field lines indicates the strength of the electric field, just as the length of vectors indicates the strength of the electric field. The greater the spacing between field lines, the weaker the electric field. Although the advantage of field lines over field vectors may not be apparent in the case of a single charge, electric field lines present a much less cluttered and more intuitive picture of more complicated charge arrangements. Part A Which of the following panels (labelled A, B, C, and D) in correctly depicts the field lines from an infinite uniformly negatively charged sheet? Note that the sheet is being viewed edge­on in all pictures. Hint 1. Description of the field Recall that the field around an infinite charged sheet is always perpendicular to the sheet and that the field strength does not change, regardless of distance from the sheet. ANSWER:  A  B  C  D Correct 5/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Part B In , what is wrong with panel B? (Pick only those statements that apply to panel B.) Check all that apply. ANSWER:  Field lines cannot cross each other.  The field lines should be parallel because of the sheet's symmetry.  The field lines should spread apart as they leave the sheet to indicate the weakening of the field with distance.  The field lines should always end on negative charges or at infinity. Correct Part C Which of the following panels (labelled A, B, C, and D) in shows the correct electric field lines for an electric dipole? ANSWER:  A  B  C  D 6/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Correct Part D In , what is wrong with panel D? (Pick only those statements that apply to panel D.) Check all that apply. ANSWER:  Field lines cannot cross each other.  The field lines should turn sharply as you move from one charge to the other.  The field lines should be smooth curves.  The field lines should always end on negative charges or at infinity. Correct  Even in relatively simple setups as in the figure shown, electric field lines are quite helpful for understanding the field qualitatively (understanding the general direction in which a certain charge will move from a specific position, identifying locations where the field is roughly zero or where the field points a specific direction, etc.). A good figure with electric field lines can help you to organize your thoughts as well as check your calculations to see whether they make sense. Part E In , the electric field lines are shown for a system of two pQin and Qge. Which of the following could represent A B the magnitudes and signs QfA andQ B ? In the following, tqk to be a positive quantity. 7/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade ANSWER:  Q A +q Q = −B  Q A +7q Q = −3B  Q A +3q Q = −7B  Q A −3q Q = +7B  Q A −7q Q = +3B Correct Very far from the two charges, the system looks like a single charge Q A Q = +Bq . At large enough distances, the field lines will be indistinguishable from the field lines due to a si+4qe.point charge  Electric Field due to Two Point Charges Two point charges are placed on the x axis.The first q1 = 8.00 nC  , is placed a distance m6 from the origin along the positive x axis; the second chargq2 = 6.0nC  , is placed a distance m.00  from the origin along the negative x axis. Part A 8/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Find the electric field at the origin, point O. Give the x and y components of the electric field as an ordered pair. Express your answer in newtons per coulomb to three significant figures. Keep in mind that an x component that points to the right is positive and a y component that points upward is positive. Hint 1. How to approach the problem Find the contributions to the electric field at the origin separqt and qr, then add them together (using vector 1 2 addition) to find the total electric field at the origin. Hint 2. Determine the directions of the electric fields Which of the following describes the directions for the electricEfie and E ⃗  created by charges q  andq , O1 O2 1 2 respectively? ANSWER:  Both E ⃗  and E ⃗  point to the right. O1 O2  Both E ⃗  and E ⃗  point to the left. O1 O2   ⃗  points to the right and   points to the left. E O1 E O2   ⃗  points to the left and   points to the right. E O1 E O2 Hint 3. Calculate the electric field due tq 1 What is the magnitude of the electric field at the origin due to q1 only? Express your answer in newtons per coulomb to three significant figures. ANSWER: E  =  0.281  N/C    O1 Hint 4. Calculate the electric field due tq  2 What is the magnitude of the electric field at the origin due to q2 only? Express your answer in newtons per coulomb to three significant figures. ANSWER: E O2  =  0.666  N/C    ANSWER: E Ox,E Oy  = 0.385,0  N/C    Correct 9/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Part B Now, assume that charge  q2 is negativeq2= −6 nC . What is the net electric field at the origin, point O? Give the x and y components of the electric field as an ordered pair. Express your answer in newtons per coulomb to three significant figures. Keep in mind that an x component that points to the right is positive and a y component that points upward is positive. Hint 1. How to approach the problem Find the contributions to the electric field at the origin separaq1 and q2, then add them together (using vector addition) to find the total electric field at the origin. Hint 2. Determine the directions of the electric fields Which of the following describes the directions for the electric EiO1 and E O2  created by chargesq1 and q2, respectively? ANSWER:  BothE O1  and EO2  point to the right.  BothE O1  and EO2  point to the left. E O1  points to the right whereEsO2  points to the left. E ⃗   points to the left whereEs   points to the right. O1 O2 ANSWER: E Ox,E Oy  =  ­0.947,0  N/C    Correct Electric Field Conceptual Question Part A For the charge distribution provided, indicate the region (A to E) along the horizontal axis where a point exists at which the net electric field is zero. 10/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade If no such region exists on the horizontal axis choose the last option (nowhere). Hint 1. Zeros of the electric field The net electric field can only be zero if the electric fields due to the two charges point in opposite directions and have equal magnitudes. Therefore, first determine the region(s) where the two constituent electric fields point in opposite directions. Then, in each region determine whether a point exists where the fields have equal magnitude. If there is such a point, then select that region. ANSWER:  A  B  C  D  E  nowhere Correct Part B For the charge distribution provided, indicate the region (A to E) along the horizontal axis where a point exists at which the net electric field is zero. If no such region exists on the horizontal axis choose the last option (nowhere). 11/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Hint 1. Zeros of the electric field The net electric field can only be zero if the electric fields due to the two charges point in opposite directions and have equal magnitudes. Therefore, first determine the region(s) where the two constituent electric fields point in opposite directions. Then, in each region determine whether a point exists where the fields have equal magnitude. If there is such a point, then select that region. Hint 2. Determine the regions where the electric fields could cancel In which region(s) do the electric fields from the two source charges point in opposite directions? List all the correct answers in alphabetical order. ANSWER: BCD Hint 3. Consider the magnitude of the electric field For each of the three regions found in the previous hint, determine whether it is possible for the magnitudes to be equal. As an example, consider the point directly between the two charges. Which charge produces the largest magnitude field directly between the two charges? ANSWER:  the charge on the right  the charge on the left  neither, because they have the same magnitude ANSWER: 12/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade  A  B  C  D  E  nowhere Correct Part C For the charge distribution provided, indicate the region (A to E) along the horizontal axis where a point exists at which the net electric field is zero. If no such region exists on the horizontal axis choose the last option (nowhere). Hint 1. Zeros of the electric field The net electric field can only be zero if the electric fields due to the two charges point in opposite directions and have equal magnitudes. Therefore, first determine the region(s) where the two constituent electric fields point in opposite directions. Then, in each region determine whether a point exists where the fields have equal magnitude. If there is such a point, then select that region. ANSWER:  A  B  C  D  E  nowhere Correct 13/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Part D For the charge distribution provided, indicate the region (A to E) along the horizontal axis where a point exists at which the net electric field is zero. Hint 1. Zeros of the electric field The net electric field can only be zero if the electric fields due to the two charges point in opposite directions and have equal magnitudes. Therefore, first determine the region(s) where the two constituent electric fields point in opposite directions. Then, in each region determine whether a point exists where the fields have equal magnitude. If there is such a point, then select that region. ANSWER:  A  B  C  D  E  Nowhere along the finitx   axis Correct The Electric Field Produced by a Finite Charged Wire ⃗  A charged wire of negligible thickness has len2Lh  units and has a linear charge densiλ. Consider the electric fiEl at the pointP , a distancd  above the midpoint of the wire. 14/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Part A ⃗  The fieldE  points along one of the primary axes. Which one? Hint 1. Consider opposite ends of the wire Consider the sum of the electric fields produced by the two equivalent charge elements at opposite ends of the wire. What is the direction of the resulting electric field? ANSWER:     i     j  ^  k Correct Part B 15/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade What is the magnitudE of the electric field aP ? Throughout this part, express your answers in terms of the constank , defined k=  1 . 4π0 Express your answer in terms oL ,λ, d, andk. Hint 1. How to approach the problem To compute the field at pPi, divide the rod into infinitesimal segments and find the electric field produced by each. Then integrate to find the total electric field. The electric field due to an arbitrary infinitesimal segment of wire has both x and y components. You could integrate these two components separately, but because of symmetry, you already know that the total electric field points only in the y direction. So you need to work only with the y component of the field. Hint 2. Find the field due to an infinitesimal segment FinddE yx) , the y component of the electric field producedPa by the infinitesimal segment of the wire between x andx + dx . Express your answer in terms ox ,d,dx ,λ, andk . Hint 1. Find the total electric field Find the magnituddE  of the electric field aP  produced by the infinitesimal wire segment bexween  and x + dx. Express your answer in terms ofλ,d,dx ,x, and the constantk. Hint 1. Formula for electric field due to a point charge → The electric fidEd at positir away from an infinitesimal charge eledq is given by  → dq dE=k r2r . Hint 2. Find∣ ∣ What is the distance from an infinitesimal segment of wire ax to the poiPt? Express your answer in terms ofx and d. ANSWER: −−−−− − ∣ ∣=  √ x + d 2 Hint 3. Find an expression fodq The wire has charge per unit leλ, and the length of an infinitesimal charge eldxe. Write an expression fdq , the total charge on the infinitesimaldxl.ment  Express your answer in terms ofλ and dx. ANSWER: dq = λdx 16/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade ANSWER: kλdx dE  =  2 2 x +d Hint 2. Find the y component ofdE What isdE y, the y component of the electric field at poinP  due to an infinitesimal segment of wire located at positxo? Assume that the magnitude of the electric field aP  due to the infinitesimal wire segmendEi.  Express your answer in terms ofdE ,x, and d. ANSWER: dEd dE y =  √ x +d 2 ANSWER: kdλdx dE yx)  =  3 ( x +d2) 2 Hint 3. A necessary integral ∫ 1 dx= x √ (a +x )3 a2√a +x 2 ANSWER: 2kLλ E  =  d L +d 2 Correct ± Suspending Charged Particles Using Electric Fields 17/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Part A What must the charge (sign and magnitude) of a particle of mass 1g be for it to remain stationary when placed in a downward­directed electric field of magnitude N/C   ? 2 Use 9.81 m/s  for the magnitude of the acceleration due to gravity. Hint 1. How to approach the problem Find the charge needed to create a force that will be equal but opposite to the force of gravity. Keep a close eye on the signs as you work, taking upward to be the positive direction for reference. Hint 2. Calculate the gravitational force Calculate the force of gravFty on the particle, including the sign, assuming that the positive direction is upward. g 2 Use 9.81 m/s  for the magnitude of the acceleration due to gravity. ANSWER: F g = −1.45×10 −2  N    Hint 3. Determine the sign of the charge needed What should the sign of the charge be to counteract the effects of gravity in this system? ANSWER:  positive  negative ANSWER: −5  C    −2.20×10 Correct Part B What is the magnitude of an electric field in which the electric force on a proton is equal in magnitude to its weight? Use 1.67×10 −27kg  for the mass of a proton, 1.60×1019 C  for the magnitude of the charge on an electron, and 9.81  2 m/s  for the magnitude of the acceleration due to gravity. Hint 1. How to approach the problem Find the electric field needed to create a force that will be equal but opposite to the force of gravity. For this section, the sign is not needed in your answer. Hint 2. Calculate the gravitational force 18/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade CalculateFg , the magnitude of the force of gravity on the proton. ANSWER: Fg =  1.64×10−26   N   ANSWER: 1.02×10 −7  N/C    Correct This is the magnitude of the electric field needed to counteract the proton's weight, but in what direction should it point? Since gravity points downward, and a positively charged particle (such as a proton) will experience an electric force in the same direction as the electric field to which it is exposed, the field should point upward. Operation of an Inkjet Printer In an inkjet printer, letters and images are created by squirting drops of ink horizontally at a sheet of paper from a rapidly moving nozzle. The pattern on the paper is controlled by an electrostatic valve that determines at each nozzle position whether ink is squirted onto the paper or not. The ink drops have a massm  = 1.00×1011 kg each and leave the nozzle and travel horizontally toward the paper atvvelocity  = 24.0m/s  . The drops pass through a charging unit that gives each drop a positivq by causing it to lose some electrons. The drops then pass between parallel deflecting plates oD 0 = 1.80cm  , where there is a uniform vertical electric field with magniEu = 8.20×10 N/C  . Part A If a drop is to be deflected a didt = 0.250mm  by the time it reaches the end of the deflection plate, what magnitude of chargeq must be given to the drop? Assume that the density of the ink drop kg/m00 , and ignore the effects of gravity. Express your answer numerically in coulombs. Hint 1. How to approach the problem 19/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade First, find the amount of time spent by the drop between the plates and use the result to find the acceleration needed for the drop to have a vertical deflection ofmm.25 . Next, using Newton's 2nd law, find the force needed for this vertical deflection. Finally, calculate the charge by setting the electric force equal to this required force. Hint 2. Calculate the time spent between the plates How much time  t does it take for the ink drop to travel horizontally from the start to the end of the deflection plates? Express your answer in seconds. Hint 1. Relating horizontal distance and velocity The ink drop has no acceleration in the horizontal direction. Therefore, the distance traveled by the drop is equal to the product of the horizontal velocity and the time traveled. Use this relation to calculate the time the ink drop spends between the plates. ANSWER: t = 7.50×10 −4   s   Hint 3. Calculate the vertical acceleration Calculate the acceleratioa needed for the ink drop to be deflected vertically bymm.2 during its trip between the deflection plates. Express your answer in meters per second squared. Hint 1. How to calculate the vertical acceleration Since the ink drop initially has zero velocity in the vertical direction, the vertical demmec isn 0.250  related to the vertical acceleraai byd = (1/2)at 2. Once you know the amount of time the ink droplet spends between the plates, you can use this equation and solve for the vertical accelea.tion  ANSWER: a =  889   m/s 2   Hint 4. Calculate the force that must be acting on the drop using Newton's law Calculate the forcF  needed to deflect the ink drop vertically by a distance omm0.2 .  Express your answer in newtons. Hint 1. How to approach the problem Recall Newton's 2nd law:F = ma . Once you know the droplet's mass and its vertical acceleration, you can compute the force needed to deflect the ink droplet vertically. ANSWER: F  =  8.89×10−9  N 20/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Hint 5. Relating the electric force and the electric field By definition, the magnitude of the electric field is the absolute value of the ratio of the magnitude of the force acting on a charged particle in the field to the magnitude of the charge of the parti|E| = |F|/|q| . ANSWER: q =  −13  C    1.08×10 Correct Here is something to think about: Is it reasonable to ignore the effect of gravity on the droplet in our calculations? For an average inkjet printer, the magnitude of the acceleration due to the electric field will be over ten times larger than the magnitude of the acceleration due to gravity. However, gravity will still cause a small deflection of the droplet and hence should not be ignored if the accuracy of the placement of the ink droplet is particularly important. ± A Proton between Oppositely Charged Plates A uniform electric field exists in the region between two oppositely charged parallel plates 1cm2  apart. A proton is released −6 from rest at the surface of the positively charged plate and strikes the surface of the opposite plate in a time interval 1.6 s10 . Part A Find the magnitude of the electric field. −19 −27 Use 1.60×10  C  for the magnitude of the charge on an electron and 1.67×10 kg  for the mass of a proton. Hint 1. How to approach the problem Use the equation for the motion over time of a particle under constant acceleration, and use the acceleration you calculate to find the electric field needed to create that acceleration for the proton. Hint 2. A relationship between electric force and electric field Recall that a charged particle in an electric field will have an electric force on it eF = qEo  . This means that the force will point in the same direction Es if the particle is positively charged, and in the opposite directiEn if  the particle is negatively charged. Hint 3. Calculate the acceleration of the proton Calculate the accelerationa  of the proton, given the time taken to get from one plate to the other and the separation of the plates. ANSWER: a =  1.27×10 10 Hint 4. Calculate the force on the proton Calculate the forceF  on the proton needed to create the acceleration calculated in Part A.3. 21/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade ANSWER: F  =  2.12×10−17  N    ANSWER: 132  N/C    Correct Remember that the electric field will point from the positively charged plate to the negatively charged plate, and that the positively charged proton moves in the same direction as the electric field. Part B Find the speed of the proton at the moment it strikes the negatively charged plate. Hint 1. How to approach the problem Use the acceleration calculated in Part A and the equations of motion to find the final velocity. ANSWER: 4  m/s    2.03×10 Correct Charged Ring Consider a uniformly charged ring in the xy plane, centered at the origin. The ring haa and positive chargeq distributed evenly along its circumference. 22/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Part A What is the direction of the electric field at any point on the z axis? Hint 1. How to approach the problem Approach 1 In what direction is the field due to a point on the ring? Add to this the field from a point on the opposite side of the ring. In what direction is the net field? What if you did this for every pair of points on opposite sides of the ring? Approach 2 Consider a general electric field at a point on the z axis, i.e., one that has a z component as well as a component in the xy plane. Now imagine that you make a copy of the ring and rotate this copy about its axis. As a result of the rotation, the component of the electric field in the xy plane will rotate also. Now you ask a friend to look at both rings. Your friend wouldn't be able to tell them apart, because the ring that is rotated looks just like the one that isn't. However, they have the component of the electric field in the xy plane pointing in different directions! This apparent contradiction can be resolved if this component of the field has a particular value. What is this value? Does a similar argument hold for the z component of the field? ANSWER:  parallel to the   axis x  parallel to tye   axis  parallel to tze   axis  in a circle parallel toxy plane Correct Part B What is the magnitude of the electric field along the positive z axis? Use k  in your answer, where k= 1 . 4πϵ0 Hint 1. Formula for the electric field q q You can always use Coulomb's law, F =k 122 , to find the electric field (the Coulomb force per unit charge) due to r q a point charge. Given the force, the electric field q2 due toq1 isE= F =k 1 . q2 r2 In the situation below, you should use Coulomb's law to find the contribdEi to the electric field at the point  (0,0,z)  from a piece of chargdq  on the ring at a distarc away. Then, you can integrate over the ring to find the value ofE . Consider an infinitesimal piece of the ring with cdqr. Use Coulomb's law to write the magnitude of the infinitesimdE   at a point on the positive z axis due to the cdq shown in the figure. 23/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Use k  in your answer, wherek= 1 . You may also use some or all of the variabldq ,z, anda . 4πϵ0 ANSWER: dE  =  kdq z +a2 Hint 2. Simplifying with symmetry By symmetry, the net field must point along the z axis, away from the ring, because the horizontal component of each contribution of magnitudE   is exactly canceled by the horizontal component of a similar contribution of magnitude dE  from the other side of the ring. Therefore, all we care about is the z component of each such contribution. What is the componedE z of the electric field caused by the charge on an infinitesimally small portion of the rindq in the z direction? Express your answer in terms of dE , the infinitesimally small contribution to the electric z, the  coordinate of the point on the z axis; aad, the radius of the ring. ANSWER: dE  =  dEz z √z +a 2 24/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Hint 3. Integrating around the ring If you combine your results from the first two hints, you will have an expresdEoz, the vertical component of the field due to the infinitesimal chdq. The total field is E = E k = k∮ ^ dE . z z ring If you are not comfortable integratdq over the ring, change to a spatial variable. Since the total q isge  distributed evenly about the ring, convince yourself that 2π q ∮ dq= ∫ dθ . ring 0 2π ANSWER: kqz E(z)  =  2 2 2 (z +a ) Correct Notice that this expression is valid for both positive and negative charges as well as for points located on the positive and negative z axis. If the charge is positive, the electric field should point outward. For points on the positive z axis, the field points in the positive z direction, which is outward from the origin. For points on the negative z axis, the field points in the negative z direction, which is also outward from the origin. If the charge is negative, the electric field should point toward the origin. For points on the positive z axis, the negative sign from the charge causes the electric field to point in the negative z direction, which points toward the origin. For points on the negative z axis, the negative sign from the z coordinate and the negative sign from the charge cancel, and the field points in the positive z direction, which also points toward the origin. Therefore, even though we obtained the above result for pq and z, the algebraic expression is valid for any signs of the parameters. As a check, it is good to s|z is much greater q than a the magnitude ofE(z)  is approximatelk  z2, independent of the size of the ring: The field due to the ring is almost the same as that due to a point charqe at the origin. Part C Imagine a small metal ball of masm  and negative charge−q 0. The ball is released from rest at the (0,0,d)  and constrained to move along the z axis, with no damping0 < d ≪ a , what will be the ball's subsequent trajectory? ANSWER:  repelled from the origin  attracted toward the origin and coming to rest  oscillating along tze   axis betwz = d  and z = −d    circling around tze   axisz = d Correct Part D 25/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade The ball will oscillate along the z axisz = d and z = −d  in simple harmonic motion. What will be the angular frequencyω of these oscillations? Use the approximd ≪ a  to simplify your calculation; that is, assume that  2 2 2 d + a ≈ a . Express your answer in terms of given charges, dimensions, and constants. Hint 1. Simple harmonic motion Recall the nature of simple harmonic motion of an object attached to a spring. Newton's second law for the system states that −−− 2 k ′ Fx=m d x =−k x ′ , leading to oscillation at a freqω=ncy of  dt2 m 1 (here, the prime on the symbol representing the spring constant is to distik=uis4πϵt ). The solution to 0 this differential equation is a sinusoidal function of time with angω. Write an analogous equation for the ball near the charged ring in order toωf term.e  Hint 2. Find the force on the charge What isFz, the z component of the force on the ball on the ball a(0,0,d)o? Use the approximation  2 2 2 d + a ≈ a . Express your answer in terms oq 0 k,q,d, anda . Hint 1. A formula for the force on a charge in an electric field ⃗  ⃗  The formula for the foFc on a chargq in an electric Ei is  F = qE .  Therfore, in particular, F z qE z. You have already founE zz) in Part B. Use that expression in the equation above to find an expression for the z component of the foFcz on the ball at the (0,0,d). Don't forget to use the approximation given. ANSWER: −kqq0d F z =  a3 ANSWER: −kqq− ω  = √ 0 ma 3 Correct Conceptual Question 26.3 26/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Part A Rank in order, from largest to smallest, the electric field streEg1 toE 4 at points 1 to 4 in the figure. Rank from largest to smallest. To rank items as equivalent, overlap them. ANSWER: Reset Help         Largest Smallest Correct Conceptual Question 26.11 27/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Part A Rank in order, from largest to smallest, the electric field Et1 toEh5 at the five points in the figure. Rank from largest to smallest. To rank items as equivalent, overlap them. ANSWER: Reset Help           Largest Smallest Correct Problem 26.8 A 10­cm­long thin glass rod uniformly charged to 8nC0 and a 10­cm­long thin plastic rod uniformly charged to ­nC. are placed side by side,  apart. What are the electric field streEg1 toE 3 at distances 1.0 cm, 2.0 cm, and 3.0 cm from 28/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade the glass rod along the line connecting the midpoints of the two rods? Part A Specify the electric field sE1ength  Express your answer with the appropriate units. ANSWER: N 1.82×10   C Correct Part B Specify the electric field sE2ength  Express your answer with the appropriate units. ANSWER: 1.34×10   C Correct Part C Specify the electric field sE3ength  Express your answer with the appropriate units. ANSWER: 5N 1.82×10 C Correct Problem 26.11 Two 10cm ­diameter charged rings face each othcm, apart. The left ring is chargnC  and the right ring is charged to +1nC . Part A What is the magnitude of the electrEc at the midpoint between the two rings? Express your answer to two significant figures and include the appropriate units. ANSWER: 29/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade E  =  1.1×10  N C Correct Part B What is the direction of the electrEc at the midpoint between the two rings? ANSWER:  To the left ring.  To the right ring.  Parallel to the plane of the rings. Correct Part C ⃗  What is the magnitude of the foFc on a ­1.nC  charge placed at the midpoint? Express your answer to two significant figures and include the appropriate units. ANSWER: −5 F  =  1.1×10 N Correct Part D What is the direction of the Fo on a ­1.nC  charge placed at the midpoint? ANSWER:  To the right ring.  Parallel to the plane of the rings.  To the left ring. Correct Problem 26.20 A 0.130g glass bead is charged by the removal of 0.×10 10 electrons. 30/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Part A What electric fiE strength will cause the bead to hang suspended in the air? Express your answer with the appropriate units. ANSWER: 6 N E  = 1.14×10  C Correct Part B ⃗  What is the direction of the electE at which the bead will hang suspended in the air? ANSWER:  up  down Correct Problem 26.21 Two 2.6cm ­diameter disks face each othemm 1 apart. They are charge± 20nC  . Part A What is the electric field strength between the disks? Express your answer to two significant figures and include the appropriate units. ANSWER: 6 N E  = 4.0×10  C Correct Part B A proton is shot from the negative disk toward the positive disk. What launch speed must the proton have to just barely reach the positive disk? Express your answer to two significant figures and include the appropriate units. ANSWER: 31/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade v =  1.2×10  m s Correct Problem 26.23 −6 2 The surface charge density on an infinite charged pla−2.20 × 10 C/m . A proton is shot straight away from the plane at1.50 × 10 m/s . Part A How far does the proton travel before reaching its turning point? Express your answer with the appropriate units. Hint 1. How to approach this problem When the proton has reached its farthest point, it is standing still. This means that the work done on the proton by the electric field of the infinite sheet has exactly canceled the original kinetic energy of the proton. Hint 2. What is the work done by the sheet Recall that the electric field near an infinite sheet of chargσ is given bE = σ . Since the electric field 2ε0 strength is independent of the distance from the sheet, the force is constant along the path of the proton and the work done is simply equal to the force times the distance traveled. ANSWER: 9.45×10−2 m Correct Problem 26.28 What are the strength and direction of the electric field at the position indicated by the dot in the figure? 32/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Part A Give your answer in component form. (Assume thax­axis is horisontal and points to the rigyt­axis points upward.) Express your answer in terms of the unit vectorsi and j. Express your answer using two significant figures. ANSWER: E =  1.3⋅10 i − 1.2⋅10 j  N/C    Correct Part B Give your answer as a magnitude and angle measured cw from the positxv­axis. Express your answer using two significant figures. ANSWER: E =  5  N/C    1.3×10 Correct Part C Express your answer using two significant figures. ANSWER: θ =  5.2     CW from th+x ­axis  Correct 33/34 9/25/2016 Chapter 26 Problems for a grade Problem 26.50 An electron is launched at a 45  angle and a sp5.0 ×f  10 m/s  from the positive plate of the parallel­plate capacitor shown in the figure . The electron lands 4.0 cm away. Part A What is the electric field strength inside the capacitor? Express your answer with the appropriate units. ANSWER: N 3550  C Correct Part B What is the smallest possible spacing between the plates? Express your answer with the appropriate units. ANSWER: 1.00 cm Correct Score Summary: Your score on this assignment is 102%. You received 112.06 out of a possible total of 110 points. 34/34


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