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Chapter 27

by: Aaditya Solanki

Chapter 27 PHYS 212

Aaditya Solanki
Penn State
GPA 3.9

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Ch 27 problems
Physics 212
75 ?




Popular in Physics 212

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This 20 page Bundle was uploaded by Aaditya Solanki on Friday September 30, 2016. The Bundle belongs to PHYS 212 at Pennsylvania State University taught by in Fall 2016. Since its upload, it has received 4 views. For similar materials see Physics 212 in Science at Pennsylvania State University.


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Date Created: 09/30/16
9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade Chapter 27 Problems for a grade Due: 11:59pm on Tuesday, September 27, 2016 To understand how points are awarded, read the Grading Policy for this assignment. Flux through a Cube A cube has one corner at the origin and the opposite corner at the point(L,L,L) . The sides of the cube are parallel to the coordinate planes. The electric field in and around the cube is given by  E = (a + bx)i + cj ^ . Part A Find the total electric flΦxE through the surface of the cube. Express your answer in terms of  a,b, c, and L . Hint 1. Definition of flux ⃗  The net electric fluΦ E of a fielE  through a closed surface S is given by Φ E ∮ E ⋅ dA  ,  where the differential vectodA  has magnitude proportional to the differential area and is oriented outward and normal (perpendicular) to the surface. In some cases with simple geometry (like this one), you can break up the integral into manageable pieces. Consider separately the flux coming out of each of the six faces of the cube, and then add the results to obtain the net flux. Hint 2. Flux through the  +x  face Consider the face of the cube whose outward normal points in the positive x direction. What is the fluΦ+x  through this face? Express your answer in terms of  a, b,c, and L . Hint 1. Simplifying the integral The field E  depends only on the spatial variablex. On the +x  face of the cubex = L , so E  is constant. ⃗  Since  E  is constant over this entire surface, it can be pulled out of the integral: ∮ E ⋅ dA = E ⋅ A⃗ .  Hint 2. Evaluate the scalar product 1/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade The scalar (dot) product yields the component of the field that is in the direction of the normal (i.e., ⃗  ⃗  perpendicular to the surface). Evaluate the dot prE ⋅ A. Express your answer in terms of a,b, c,x, andA . ANSWER: ⃗  ⃗  (a + bx)A E ⋅ A =  Hint 3. Find the area of the face of the cube This+x  face of the cube is a square with sides of L. What is the area of this face? ANSWER: A  = L 2 ANSWER: Φ  =  2 +x (a + bL)L Hint 3. Flux through the+y  face Consider the face of the cube whose outward normal points in the positive y direction. What Φ+yt through this face? Express your answer in terms of a,b,c, and L. ANSWER: Φ+y  = cL 2 Hint 4. Flux through the+z  face Consider the face of the cube whose outward normal points in the positive z direction. What Φ+zt through this face? Hint 1. Consider the orientation of the field The electric field has no z component (the field E lies entirely in the xy plane. What is the dot product of a vector in the xy plane and a vector normal +z  face of the cube? ANSWER: Φ+z  =  0 Hint 5. Flux through the−x  face Consider the face of the cube whose outward normal points in the negative x direction. What Φs−xh through this face? 2/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade Express your answer in terms ofa,b ,c, andL . Hint 1. What is the electric field? The face of the cube whose outward normal points in the negative x direction lies in the yx = 0). (i.e.,  Find the x componentEx  of the electric field across this surface. ANSWER: Ex  = a Hint 2. Direction of flux Remember to take note of whether the electric field is going into the surface or out of the surface. Flux is defined as positive when the field is coming out of the surface and negative when the field is going into the surface. ANSWER: Φ−x  = −aL 2 Hint 6. Putting it together Using similar calculations to those above, you should be able to find the flux through each of the six faces. Add the six quantities to obtain the net flux. ANSWER: 3 Φ E  = bL Correct Part B Notice that the flux through the cube does not depan oc . Equivalently, if we were b = 0t, so that the electric field becomes → ′ ^ ^ E = ai + cj , then the flux through the cube would be zero. Why? ANSWER:  →  does not generate any flux across any of the surfaces. E ′  The flux into one side of the cube is exactly canceled by the flux out of the opposite side.  Both of the above statements are true. Correct 3/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade Part C What is the net charge q inside the cube? Express your answer in terms of  a ,b,c ,L , andϵ0. Hint 1. Gauss's law Gauss's law states that the net flux of an electric field through a surface is proportional to the net charge inside that surface: qencl Φ =E ϵ0 . ANSWER: q =  3 ϵ0bL Correct Gauss's Law in 3, 2, and 1 Dimension Gauss's law relates the electric fΦuE  through a closed surface to the total charqe   enclosed by the surface: encl Φ =∮ E⋅dA= ⃗  ⃗  qencl. E ϵ0 You can use Gauss's law to determine the charge enclosed inside a closed surface on which the electric field is known. However, Gauss's law is most frequently used to determine the electric field from a symmetric charge distribution. The simplest case in which Gauss's law can be used to determine the electric field is that in which the charge is localized at a point, a line, or a plane. When the charge is localized at a point, so that the electric field radiates in three­dimensional space, the Gaussian surface is a sphere, and computations can be done in spherical coordinates. Now consider extending all elements of the problem (charge, Gaussian surface, boundary conditions) infinitely along some direction, say along the z axis. In this case, the point has been extended to a line, namely, the z axis, and the resulting electric field has cylindrical symmetry. Consequently, the problem reduces to two dimensions, since the field varies only with x and y, or r and θ in cylindrical coordinates. A one­ dimensional problem may be achieved by extending the problem uniformly in two directions. In this case, the point is extended to a plane, and consequently, it has planar symmetry. Three dimensions Consider a point chargeq  in three­dimensional space. Symmetry requires the electric field to point directly away from the charge in all directions. To E(r)  , the magnitude of the field at distar from the charge, the logical Gaussian surface is a sphere centered at the charge. The electric field is normal to this surface, so the dot product of the electric field and an infinitesimal surface element involvescos(0) = 1 . The flux integral is therefore reduced∫ E(r)dA=E(r)A(r) , where E(r)  is the magnitude of the electric field on the Gaussian surface, aA(r)  is the area of the surface. 4/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade Part A Determine the magnitude  E(r)  by applying Gauss's law. Express  E(r)  in terms of some or all of the variables/constantsq ,r, and ϵ0. Hint 1. Find the area of the surface Find the area of a spherical surface of radir surrounding the point charge. Express your answer in terms of  r and other constants. ANSWER: 2 A(r)  =  4πr ANSWER: 1 q E(r)  =  4πϵ0 r2 Correct Two dimensions Now consider the case that the charge has been extended along the z axis. This is generally called a line charge. The usual variable for a line charge density (charge per unit lengλh, and it has units (in the SI system) of coulombs per meter. Part B By symmetry, the electric field must point radially outward from the wire at each point; that is, the field lines lie in planes perpendicular to the wire. In solving for the magnitude of the radial electrE(r)i produced by a line charge with charge densityλ , one should use a cylindrical Gaussian surface whose axis is the line charge. The length of the cylindrical surface  L  should cancel out of the expression fE(r) . Apply Gauss's law to this situation to find an expressioE(r)r. Express  E(r)  in terms of some or all of the variablesλ,r, and any needed constants. 5/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade Hint 1. Find the surface area of a Gaussian cylinder Find A(r) , the area of the Gaussian surface. Note that you do not need to include the ends of the cylinder in the calculation of area. Since the electric field is radial (by symmetry), the ends of the cylinder are parallel to the field, and there is no flux through them. Express  A(r)  in terms of the lengthL and radius r of the surface, as well as any needed constants. ANSWER: A(r)  =  2πrL Hint 2. Find the enclosed charge What is the chargeqencl contained within the Gaussian cylinder? Express your answer in terms of  λ ,L , and any needed constants. ANSWER: qencl=  λL ANSWER: 1 E(r)  =  2π0 λ r Correct One dimension Now consider the case with one effective direction. In order to make a problem effectively one­dimensional, it is necessary to extend a charge to infinity along two orthogonal axes, conventionally taken to be x and y. When the charge is extended to infinity in the xy plane (so that by symmetry, the electric field will be directed in the z direction and depend only on z), the charge distribution is sometimes called a sheet charge. The symbol usually used for two­dimensional charge density iσ , oη . In this problem we will uηe.η has units of coulombs per meter squared. 6/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade this problem we will use  .   has units of coulombs per meter squared. Part C In solving for the magnitude of the electriE(z)e produced by a sheet charge with charge densiη, use the planar symmetry since the charge distribution doesn't change if you slide it in any direction of xy plane parallel to the sheet. Therefore at each point, the electric field is perpendicular to the sheet and must have the same magnitude at any given distance on either side of the sheet. To take advantage of these symmetry properties, use a Gaussian surface in the shape of a cylinder with its axis perpendicular to the sheet of charge, with enAs which will cancel out of the expression forE(z)  in the end. The result of applying Gauss's law to this situation then gives an expE(z)i for botz > 0 and z < 0. Express E(z)  forz > 0  in terms of some or all of the variables/constants η,z, andϵ 0 Hint 1. Find the total electric flux out of the cylinder What is the total fΦuE out of the ends of the cylinder used as the Gaussian surface in this problem? Note that since the electric field is directed along the z axis by symmetry, it is parallel to the curved side walls of the cylinder, so there is no flux through these walls. Express your answer in terms of the area A  of the ends of the cylinder, the magnitudE of the electric field, and any needed constants. ANSWER: Φ  =  E 2EA Hint 2. Find the charge within the Gaussian surface What is the chargeq  inside the Gaussian surface? encl Express your answer in terms of η ,A , and any needed constants. ANSWER: q  =  ηA encl ANSWER: 1 E(z) =  η 2ϵ0 7/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade Correct In this problem, the electric field from a distribution of charge in 3, 2, and 1 dimension has been found using Gauss's law. The most noteworthy feature of the three solutions is that in each case, there is a different relation of the field strength to the distance from the source of charge. In each case, the field strength varies inversely as an integral power of the distancer from the charge. In the case of a point charge (spherical symmetry, field in three dimensions), −2 the field strength varies rs . In the case of a line charge (cylindrical symmetry, field in two dimensions), the field strength varies asr−1. Finally, in the case of a sheet charge (planar symmetry, field in one dimension), the field varies 0 as r = 1 ; that is, the strength of the field is independent of the distance from the sheet! If you visualize the electric field using field lines, this result shows that as the number of directions in which the electric field can point is reduced, the field lines have one dimension fewer in which to to spread out, and the field therefore falls off less rapidly with distance. In a one­dimensional problem (sheet charge), the extension of the charge in the xy plane means that all field lines are parallel to the z axis, and so the field strength does not change with distance. Such a situation, of course, is impossible in the real world: In reality, the planar charge is not infinite, so the field will in fact fall off over long distances. A Conducting Shell around a Conducting Rod An infinitely long conducting cylindrical rod with a positive λharge  per unit length is surrounded by a conducting cylindrical shell (which is also infinitely long) with a charge per unit le−2λh  and radius  r , as shown in the figure. 1 Part A What is E(r) , the radial component of the electric field between the rod and cylindrical shell as a function of thr distance  from the axis of the cylindrical rod? Express your answer in terms of  λ,r, and ϵ0, the permittivity of free space. Hint 1. The implications of symmetry Because the cylinder and rod are cylindrically symmetric, the magnitude of the electric field cannot vary as a function of angle around the rod, nor as a function of longitudinal position along the rod (typically represented by the spatial variablesθ  andz ). By symmetry, the magnitude of the electric field can only depend on the distance from the axis of the rod (the spatial variabr). Hint 2. Apply Gauss' law q Gauss's law states thatΦ E ϵ0, where ΦE  is the electric flux through a Gaussian surface,q is the total charge enclosed by the surface. Construct a cylindrical Gaussian surface with radr and lengthL  coaxial with the 8/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade rod, with < r1. Hint 3. Find the charge inside the Gaussian surface What is the total charqe   enclosed by the surface? inner ANSWER: qinner= Lλ Hint 4. Find the flux What isΦ E, the electric flux through the Gaussian surface? Express your answer in terms of the magnitude of the electric fieE and given variables. ANSWER: ΦE  =  2πrLE ANSWER: λ E(r)  =  2πrϵ0 Correct Part B What isσinner the surface charge density (charge per unit area) on the inner surface of the conducting shell? Hint 1. Apply Gauss's law The magnitude of the net force on charges within a conductor is always zero. This implies that the magnitude of the electric field within the conductor is zero. Think about a cylindrical Gaussian surfL whose radius lies at the middle of the outer cylindrical shell. Since the electric field inside a conductor is zero and the Gaussian surface 9/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade lies within the conductor, the electric flux across the Gaussian surface must be zero. What, then, must  , the total charge inside this Gaussian surface, be? ANSWER: q =  0 Hint 2. Find the charge contribution from the surface What isq , the total charge on the inner surface of the cylindrical shell that is contained within the Gaussian inner surface? Express your answer in terms ofL  andλ . ANSWER: qinner= −Lλ ANSWER: λ σ inner= − 2πr1 Correct Part C What isσ , the surface charge density on the outside of the conducting shell? (Recall from the problem statement that outer the conducting shell has a total charge per unit length−2λve.)by  Hint 1. What is the charge on the cylindrical shell? What isq , the total surface charge (the sum of charges on the inner and outer surfaces) of a portion of the shell total of lengtL ? ANSWER: qtotal  −2λL ANSWER: λ σ outer= − 2πr1 Correct Part D 10/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade What is the radial component of the electriE(r)e, outside the shell? Hint 1. How to approach the problem Apply Gauss's law as you did to find the field between the rod and the shell. Again, choose the Gaussian surface to be a cylinder, with leLg and radiur, coaxial with the rod. This time, you need r > r1.  Hint 2. Find the charge within the Gaussian surface What isq , the total charge contained within the Gaussian surface? outer ANSWER: qouter= −λL Hint 3. Find the flux in terms of the electric field What isΦ E, the electric flux through the Gaussian surface? Express your answer in terms of the magnitude of the electric fEe and given variables. ANSWER: ΦE  = 2πrLE ANSWER: E(r)  =  − λ 2πrϵ0 Correct The Charge Inside a Conductor A spherical cavity is hollowed out of the interior of a neutral conducting sphere. At the center of the cavity is a point charge, of positive chargq. 11/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade Part A What is the total surface chargeq inton the interior surface of the conductor (i.e., on the wall of the cavity)? Hint 1. Gauss's law and properties of conductors The net electric field in the interior of the conducting material must be zero. (The electric field in the cavity, however, need not be zero.) Knowing this, you can use Gauss's law to find the net charge on the interior surface of the cavity. Use the following Gaussian surface: an imaginary sphere, centered at the cavity, that has an infinitesimally larger radius than that of the cavity, so that it encompasses the inner surface of the cavity. This Gaussian surface lies within the conductor, so the field on the Gaussian surface must be zero. Thus, by Gauss's law, the net charge inside the Gaussian surface must be zero as well. But you know that there is a point charge q within the Gaussian surface. If the net charge within the Gaussian surface must be zero, how much charge must be present on the surface of the cavity? ANSWER: −q qint =  Correct Part B What is the total surface chargeq  on the exterior surface of the conductor? ext Hint 1. Properties of the conductor In the problem introduction you are told that the conducting sphere is neutral. Furthermore, recall that the free charges within a conductor always accumulate on the conductor's surface (or surfaces, in this case). You found the net charge on the conductor's interior surface in Part A. If the conductor is to have zero net charge (as it must, since it is neutral), how much charge must be present on its exterior surface? ANSWER: qext =  q Correct Part C What is the magnitude  E  of the electric field inside the cavity as a function of the dirt from the point charge? Letk, int as usual, denote  1 . 4πϵ0 Hint 1. How to approach the problem The net electric field inside the conductor has three contributions: 1. from the charge q; 2. from the charge on the cavity's wallq  ; int 12/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade 3. from the charge on the outer surface of the spherical conductor  qext. However, the net electric field inside the conductor must be zero. How must  q intand q extbe distributed for this to happen? Here's a clue: the first two contributions above cancel each other out, outside the cavity. Then the electric field produced by  qext inside the spherical conductor must separately be zero also. How must  qext be distributed for this to happen? After you have figured out how  q  and q  are distributed, it will be easy to find the field in the cavity, either by int ext adding field contributions from all charges, or using Gauss's Law. Hint 2. Charge distributions and finding the electric field q  and q  are both uniformly distributed. Unfortunately there is no easy way to determine this, that is why a clue int ext was given in the last hint. You might hit upon it by assuming the simplest possible distribution (i.e., uniform) or by trial and error, and check that it works (gives no net electric field inside the conductor). Ifq  is distributed uniformly over the surface of the conducting sphere, it will not produce a net electric field inside ext the sphere. What are the characteristics of the fieldqint produces inside the cavity? ANSWER:  zero  the same as the field produced by a point charge  qlocated at the center of the sphere  the same as the field produced by a point charge located at the position of the charge in the cavity ANSWER:  0  kq/r 2  2kq/r 2 Correct Part D What is the electric fieldE ext outside the conductor? Hint 1. How to approach the problem The net electric field inside the conductor has three contributions: 1. from the charge  q; 2. from the charge on the cavity's walls qint; 3. from the charge on the outer surface of the spherical conductor  q . ext However, the net electric field inside the conductor must be zero. How must  q intand q extbe distributed for this to happen? 13/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade Here's a helpful clue: the first two contributions above cancel each other out, outside the cavity. Then the electric field produced byq  inside the spherical conductor must be separately be zero also. How must q  be distributed ext ext for this to happen? What sort of field would such a distribution produce outside the conductor? Hint 2. The distribution of qext Ifqextis distributed uniformly over the surface of the conducting sphere, it will not produce a net electric field inside the sphere. What are the characteristics of the field it produces outside the sphere? ANSWER:  zero  the same as the field produced by a point chargeq  located at the center of the sphere  the same as the field produced by a point charge located at the position of the charge in the cavity Correct Now a second charge,  q2, is brought near the outside of the conductor. Which of the following quantities would change? Part E The total surface charge on the wall of the cavitq,  : int Hint 1. Canceling the field due to the charge  q The net electric field inside a conductor is always zero. The charges on the inner conductor cavity will always arrange themselves so that the field lines due to chargq do not penetrate into the conductor. ANSWER:  would change  would not change Correct Part F The total surface charge on the exterior of the conductorq  : ext Hint 1. Canceling the field due to the charge  q 2 The net electric field inside a conductor is always zero. The charges on the outer surface of the conductor will rearrange themselves to shield the external field completely. Does this require the net charge on the outer surface to change? ANSWER: 14/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade  would change  would not change Correct Part G The electric field within the cEvcav,  ANSWER:  would change  would not change Correct Part H The electric field outside the conduEtext  ANSWER:  would change  would not change Correct Conceptual Question 27.6 Part A q What is the electric flux through suAf in the figure? Give the answer as a multipε0 .f 15/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade ANSWER: q Φ A =  4.00  ⋅ ε0   Correct Part B q What is the electric flux through surBa in the figure? Give the answer as a multiplε o.  0 ANSWER: q Φ B =  ­4  ⋅ ε0   Correct Part C q What is the electric flux through surCa in the figure? Give the answer as a multiple o.  ε0 ANSWER: q Φ C =  0  ⋅ ε0   Correct Part D q What is the electric flux through surDa in the figure? Give the answer as a multiple o.  ε0 ANSWER: 16/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade q ΦD  =  3  ⋅    ε0 Correct Part E q What is the electric flux through surE in the figure? Give the answer as a multiplε .f  0 ANSWER: q ΦE  =  0  ⋅ ε0   Correct Problem 27.10 Part A What is the electric flux through the surface shown in the figure ? Assume that E = 250N/C  . Express your answer to two significant figures and include the appropriate units. ANSWER: ­2.8 ⋅m 2 Φe =  C Correct Problem 27.14 A 5.0cm ­diameter circle lies in the xz­plane in a region where the electrE = (1900ı + 1900ȷ + 1900k) N/C . 17/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade Part A What is the electric flux through the circle? Express your answer using two significant figures. ANSWER: Φ e =  3.7  Nm /C    Correct Problem 27.19 The figure shows three Gaussian surfaces and the electric flux through each. Part A What is the chargq1? ANSWER: 2q Correct Part B What is the chargq ? 2 ANSWER: q Correct 18/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade Part C What is the chargq3? ANSWER: −3q Correct Problem 27.23 48.4 million excess electrons are inside a closed surface. Part A What is the net electric flux through the surface? ANSWER: ­0.875  Nm /C    Correct Problem 27.40 The figure shows a solid metal sphere at the center of a hollow metal sphere. Assume thatE = 1.8 × 10 N/C . Part A What is the total charge on the exterior of the inner sphere? Express your answer with the appropriate units. ANSWER: 19/20 9/30/2016 Chapter 27 Problems for a grade Q inner=  ­1nC Correct Part B What is the total charge on the inside surface of the hollow sphere? Express your answer with the appropriate units. ANSWER: Q  =  13nC inside hollow Correct Part C What is the total charge on the exterior surface of the hollow sphere? Express your answer with the appropriate units. ANSWER: Q exterior hollow8 nC Correct Score Summary: Your score on this assignment is 102%. You received 66.26 out of a possible total of 65 points. 20/20


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