New User Special Price Expires in

Let's log you in.

Sign in with Facebook


Don't have a StudySoup account? Create one here!


Create a StudySoup account

Be part of our community, it's free to join!

Sign up with Facebook


Create your account
By creating an account you agree to StudySoup's terms and conditions and privacy policy

Already have a StudySoup account? Login here

CH 12

by: Aaditya Solanki
Aaditya Solanki
Penn State
GPA 3.9

Preview These Notes for FREE

Get a free preview of these Notes, just enter your email below.

Unlock Preview
Unlock Preview

Preview these materials now for free

Why put in your email? Get access to more of this material and other relevant free materials for your school

View Preview

About this Document

Ch 12 homework
Dr. ub dula
Study Guide
50 ?




Popular in Mechanics

Popular in Physics 2

This 29 page Study Guide was uploaded by Aaditya Solanki on Wednesday April 20, 2016. The Study Guide belongs to PHYS 211 at Portland State University taught by Dr. ub dula in Spring 2016. Since its upload, it has received 29 views. For similar materials see Mechanics in Physics 2 at Portland State University.


Reviews for CH 12


Report this Material


What is Karma?


Karma is the currency of StudySoup.

You can buy or earn more Karma at anytime and redeem it for class notes, study guides, flashcards, and more!

Date Created: 04/20/16
4/16/2016 Ch 12 HW Ch 12 HW Due: 11:59pm on Monday, April 18, 2016 To understand how points are awarded, read the Grading Policy for this assignment. Problem 12.1 A skater holds her arms outstretched as she spins rpm80 .  Part A What is the speed of her hands if they acm  apart? Express your answer with the appropriate units. ANSWER: m 5.86 s Correct Problem 12.15 The three masses shown in the figure are connected by massless, rigid rods. Part A Find the coordinates of the center of mass. Fxn­coordinate. Express your answer to two significant figures and include the appropriate units. ANSWER: x cm =  6.0cm Typesetting math: 77% 1/29 4/16/2016 Ch 12 HW Correct Part B Find they­coordinate. Express your answer to two significant figures and include the appropriate units. ANSWER: y  =  4.0cm cm Correct Part C Find the moment of inertia about an axis that passes through mass A and is perpendicular to the page. Express your answer to two significant figures and include the appropriate units. ANSWER: I =  2.0×10   kg⋅m 2 Correct Part D Find the moment of inertia about an axis that passes through masses B and C. Express your answer to two significant figures and include the appropriate units. ANSWER: I =  1.3×10   kg⋅m 2 Correct Torque about the z Axis Learning Goal: To understand two different techniques for computing the torque on an object due to an applied force. ⃗  Imagine an object with a pivot point p at the origin of the coordinate system shown . The forFe lies in the xy plane, and this force of magnituFe acts on the object at a point in the xy plane. The r is the position vector 2/29 4/16/2016 Ch 12 HW relative to the pivot point p to the point where is applied. ⃗  The torque on the object due to the force F  is equal to the cross product τ = r ×F  . When, as in this problem, the force vector and lever arm both lie in the xy plane of the paper or computer screen, only the z component of torque is nonzero. When the torque vector is parallel to the z axisτ = τk ^), it is easiest to find the magnitude and sign of the torque,τ , in terms of the angle θ between the position and force vectors using one of two simple methods: the Tangential Component of the Force method or the Moment Arm of the Force method. Note that in this problem, the positive z direction is perpendicular to the computer screen and points toward you ^ ^ ^ (given by the right­hand rulei × j = k ), so a positive torque would cause counterclockwise rotation about the z axis. Tangential component of the force Part A Decompose the force vector  F  into radial (i.e., parallel to  r ) and tangential (perpendicular tor ) components as shown. Find the magnitude of the radial and tangential components,  F r and F t. You may assume that  θ is between zero and 90 degrees. Enter your answer as an ordered pair. Express  Ft and  F r in terms of F  and θ . Hint 1. Magnitude of  F r  ⃗  ⃗  Use the given angle between the force vector  F  and its radial component F r  to compute the magnitude  F r. ANSWER: (F rF )t  =  Fcos(θ),Fsin(θ) Correct 3/29 4/16/2016 Ch 12 HW Part B Is the following statement true or false? The torque about point p is proportional to the lengtr of the position vector.  ANSWER: true false Correct Part C Is the following statement true or false? ⃗  Both the radial and tangential components of F  generate torque about point p. ANSWER: true false Correct Part D Is the following statement true or false? In this problem, the tangential force vector would tend to turn an object clockwise around pivot point p. ANSWER: true false Correct Part E Find the torque τ about the pivot point p due to forcF . Your answer should correctly express both the magnitude and sign of τ. Express your answer in terms of  F  and r  or in terms ofF ,θ , and r. t 4/29 4/16/2016 Ch 12 HW ANSWER: τ =  −rFsin(θ) Correct Moment arm of the force In the figure, the dashed line extending from the force vector is called the line Ff. The perpendicular distance rm  from the pivot point p to the line of action is called the moment arm of the force. Part F What is the lengthr  , of the moment arm of the forFe   m  about point p? Express your answer in terms of r  and θ. ANSWER: rm  = rsin(θ) Correct Part G ⃗  Find the torquτ  about p due tF . Your answer should correctly express both the magnitude and sigτ .f  Express your answer in terms of r m  andF  or in terms ofr,θ, and F . ANSWER: τ =  −rFsin(θ) 5/29 4/16/2016 Ch 12 HW Correct Three equivalent expressions for expressing torque about the z axis have been discussed in this problem: 1. Torque is defined as the cross product between the position and force vectors. When both  F  and r  lie in the xy plane, only the z component of torque is nonzero, and the cross product simplifies to: τ = r ×F = r∗ F ∗ sin(θ)k = τk ^ ^ . Note that a positive value forτ indicates a counterclockwise direction about the z axis. ⃗  2. Torque is generated by the component of  F  that is tangential to the position vector (the tangential component of force): τ = r∗ F = t∗ F sin(θ) . 3. The magnitude of torque is the product of the force and the perpendicular distance between the z axis and the line of action of a forcr,m , called the moment arm of the force: τ = r m ∗ F = r∗ sin(θ)∗ F . Problem 12.18 Part A In , what is the net torque about the axle? Express your answer using two significant figures and include the appropriate units. ANSWER: τ  =  ­0.20 N⋅m Correct ± PSS 12.1 Rotational Dynamics Problems 6/29 4/16/2016 Ch 12 HW Learning Goal: To practice Problem­Solving Strategy 12.1 for rotational dynamics problems. Suppose that you are holding a pencil balanced on its point. If you release the pencil and it begins to fall, what will be the angular acceleration when it has an angle of 10.0 degrees from the vertical? A typical pencil has an average length of 15.0cm  and an average mass of 10.0  g . Assume the tip of the pencil does not slip as it falls. PROBLEM­SOLVING STRATEGY 12.1  Rotational dynamics problems MODEL:  Model the object as a simple shape. VISUALIZE: Draw a pictorial representation to clarify the situation, define coordinates and symbols, and list known information. Identify the axis about which the object rotates. Identify forces, and determine their distance from the axis. For most problems, it will be useful to draw a free­body diagram. Identify any torques caused by the forces and the signs of the torques. SOLVE: The mathematical representation is based on Newton’s second law for rotational motion: τnet τnet = Iα  or α= I . Find the moment of inertia in the table of common shapes of objects, or if needed, calculate it as an integral or by using the parallel­axis theorem. Use rotational kinematics to find angles and angular velocities. ASSESS:  Check that your result has the correct units, is reasonable, and answers the question. Model There are two reasonable approximations to consider for the pencil in this problem: a cylinder and a thin rod. However, in this problem we will treat the pencil as a uniform thin rod of lengtcm1 and mass 10.0  g . Visualize Part A The pencil rotates about an axis perpendicular to the plane of the figure. Which of the labeled points is the point that the axis of rotation passes through? 7/29 4/16/2016 Ch 12 HW ANSWER: A B C D E Correct Part B Identify and draw the forces that act on the pencil. Be certain to draw each force at the correct location (the point at which the force acts on the pencil). The black dot represents the center of mass of the pencil. Draw the vectors starting at the points of application of the corresponding forces. The location and orientation of the vectors will be graded. The length of the vectors will not be graded. ANSWER: 8/29 4/16/2016 Ch 12 HW Correct Solve Part C What is the angular acceleration of the pencil when it makes an angle of 10.0 degrees with the vertical? Express your answer numerically in radians per second squared to three significant figures. Hint 1. Find the moment of inertia In Part A, you determined the point about which the pencil rotates. To determine the angular acceleration of the pencil, you will need to know its moment of inertia about that point. What is the momI of thenertia  pencil about an end, given our approximation that it is a uniform thin rod ocml and mass 10.0g ? Express your answer numerically in kilogram­meters squared to four significant figures. Hint 1. The moment of inertia of a thin rod 1 2 The formula for moment of inertia of a thin rod about a3 mLd is, wherem  is the mass anL  is the length. You have the mass and length in grams and centimeters, respectively. Be sure to convert these quantities to the appropriate units before entering them into the formula. ANSWER: 9/29 4/16/2016 Ch 12 HW 2 I  = 7.500×10 −5  kg ⋅m    Correct Hint 2. Find the net torque What is the net torqueτ  acting on the pencil when torque is calculated about the end that is in contact net with the ground (i.e., the point that you identified in Part A)? Express your answer numerically in newton­meters to four significant figures. Hint 1. How to approach the problem Recall that the magnitudeτ of a torque is defined τ = rF sinϕ , wherer  is the distance from the pivot point to the point of application for the Fo is the magnitude of the force that exerts the torque, andϕ  is the angle between the force and the line connecting the pivot to the point of application. Hint 2. Find the distance from the axis for each force acting on the pencil What is the distancer  between the point of application n and the axis of rotation? What is the n distancer w between the point of application wf and the axis? What is the distancr f between the point of application ff and the axis? Recall that the axis of rotation in this problem is horizontal. Express your answers numerically in meters to three significant figures separated by a comma. ANSWER: −2 rn, rw r f =  0,7.50×10 ,0  m ,m    Incorrect; Try Again; 2 attempts remaining Hint 3. Find the weight of the pencil What is the magnitude F G of the weight of the pencil? Express your answer numerically in newtons to four significant figures. ANSWER: FG  =  9.800×10 −2   N    ANSWER: τ  =  −3  N⋅m    net −1.276×10 10/29 4/16/2016 Ch 12 HW Incorrect; Try Again; 2 attempts remaining ANSWER: 2 α =  ­17.0  rad/s    Correct Assess Part D Calculate the timt for the pencil to hit the ground, assuming that it falls from standing perfectly vertical and maintains this angular acceleration. Express your answer numerically in seconds to three significant figures. Hint 1. How to approach the problem Recall that angles measured clockwise are negative. In falling from vertical to striking the ground, the pencil travels clockwise and goes through a change in angle −90  degrees, or−π/2 rad . Use the angular acceleration that you found in Part C along with one of the angular kinematics equations to find the time for the pencil to traver−π/2 rad . Hint 2. Determine which equation to use Which of the following equations for motion under constant angular accelerαt should you use to fint? Let ω0 be the initial angular speωd the angular speed at timt, andΔθ  the change in angle during time  t. ANSWER: ω = ω 0αt Δθ= ω t+ αt 1 2 0 2 2 2 ω = ω +0αΔθ ANSWER: t =  0.430  s 11/29 4/16/2016 Ch 12 HW Correct In this part, you assumed that the angular acceleration from partway through the fall is the constant angular acceleration through the entire fall. This is similar to the calculation using the average angular acceleration. Therefore, you should get a value similar to (i.e., with the same order of magnitude as) what you find in real life. You calculated a time of around half a second. This is certainly reasonable, based on your experience with pencils. If you had found an answer such as 50 seconds or 1/100 second, then you would need to rethink your answer and check over your work. Acceleration of a Pulley A string is wrapped around a uniform solid cylinder of rar, as shown in the figure . The cylinder can rotate freely about its axis. The loose end of the string is attached to a block. The block and cylinder each have massm . Note that the positive y direction is downward and counterclockwise torques are positive. Part A Find the magnitude α of the angular acceleration of the cylinder as the block descends. Express your answer in terms of the cylinder's radius  r and the magnitude of the acceleration due to gravity g. Hint 1. How to approach the problem 1. The block does not rotate. To analyze its motion, you should use Newton's second law in its linear formF = ma . 2. The pulley rotates. To analyze its motion, you should use Newton's second law in its angular form:τ = Iα . 3. Using the geometry of the situation, you need to find the relationship beta and α . 4. Finally, solve the system of three equations to obtain an expressioα .or  Hint 2. Find the net force on the block The block has two forces acting on it: the tension of the string and its own weight. What is the nFt force  acting on the block? Use the coordinate system shown in the figure. 12/29 4/16/2016 Ch 12 HW Express your answer in terms om , g (the magnitude of the acceleration due to gravity)T  (the tension in the string). ANSWER: mg−T F = ma =  =  Hint 3. Find the net torque on the pulley The tensioT  in the string produces a torque that acts on the pulley. What is the torque? Express your answer in terms of the cylinder's radr and the tensionT in the string. Hint 1. Formula for torque Recall thτ = rF sin(ϕ) , whereF  is the force causing the tor is the distance from the pivot to the point at which the force acϕs is the angle between the position vector of the point mentioned above and the force vector. ANSWER: Iα =  =  −Tr Hint 4. Relate linear and angular acceleration The string does not stretch. Therefore, there is a geometric constraint between the linea andceleration  the angular acceleratα. What is the cylinder's angular acceleα in terms of the linear acceleaation  of the block? Express your answer in terms oa  andr. Be careful with your signs. ANSWER: −a α  =  r Hint 5. Putting it together Solve the system of equations to elimT and obtain an expression αo.  ANSWER: α  = 2g 3r Correct Note that the magnitude of the linear acceleration of thegb, which does not depend on the valur.of  3 13/29 4/16/2016 Ch 12 HW PSS 12.2 Static Equilibrium Problems Learning Goal: To practice Problem­Solving Strategy 12.2 for static equilibrium problems. Tweedledum and Tweedledee are carrying a uniform wooden board that iL  = 3.00m  long and has a massM  = 15.0  kg . If Tweedledum applies an upward force of magnituFe1 = 60.0N  at the left end of the board, at what point and with what magnitudeF  of force does Tweedledee have to lift for the board to be carried? 2 PROBLEM­SOLVING STRATEGY 12.2  Static equilibrium problems MODEL: Model the object as a simple shape. VISUALIZE Draw a pictorial representation showing all forces and distances. List known information. Pick any point you wish as a pivot point. The net torque about this point is zero. Determine the moment arms of all forces about this pivot point. Determine the sign of each torque about this pivot point. SOLVE: The mathematical representation is based on the fact that an object in total equilibrium has no net force and no net torque: ⃗  ⃗  Fnet = 0  andτ net= 0 . Write equations fo∑F =x0 ,∑F = y , and∑τ = 0 . Solve the three simultaneous equations. ASSESS: Check that your result is reasonable and answers the question. Model Model the board as a uniform rod, with its center of mass at the center. Note that in order for Tweedledum and Tweedledee to carry the board safely, the board must be in static equilibrium. If the board were not in equilibrium, the net force acting on the board would exert a torque on it, causing the board to rotate, likely hitting one of the carriers. Visualize Part A Which of the following diagrams represents the correct free­body diagram for this situation? 14/29 4/16/2016 Ch 12 HW ANSWER: A B C D Correct Part B Take the left end of the board as a pivot point. Sort the forces acting on the board according to whether they exert a positive, negative, or zero torque about this point. Drag the appropriate items to their respective bins. Hint 1. The definition of the positive sense of rotation By convention, the positive sense of rotation is counterclockwise. ANSWER: 15/29 4/16/2016 Ch 12 HW Correct Now that you have identified the correct free­body diagram, complete your pictorial representation of the problem by defining symbols representing the important variables, such as distances and magnitudes of forces. Make sure you identify what the problem is trying to find. Here, we willd the distance between the left end of the board and the point at which Tweedledee exerts a force of magnitudF  . Therefore, your target 2 variables are d and F 2. A complete pictorial representation for this problem should look like the sketch shown below. Keep in mind that by convention the positive sense of rotation is counterclockwise. 16/29 4/16/2016 Ch 12 HW Solve Part C If Tweedledum applies a foF1 at the left end of the board, at whd from the left end and with what magnitude of foFc2 does Tweedledee have to lift for the board to be carried? Express your answers numerically in newtons and meters to three significant figures separated by commas. Hint 1. Set up the equilibrium condition for the net force For the board to be in equilibrium, there should be no translational motion, i.e., the net force acting on the board must be zero. This equilibrium conditiΣF y 0om in this problem because all the forces acting on the board are vertical. Write an expressioΣFfy, the sum of the vertical components of all forces acting on the board. Assume that the vertical axis is positive in the upwards direction. Express your answer in terms of some or all of the F1,Fa2,L, andM . Useg for the acceleration due to gravity. ANSWER: ΣF y 0 =  = F 1F −M2 Hint 2. Set up the equilibrium condition for the net torque Because the board is not rotating, theτnet= Στq about any point must be zero. Below is a list of equations fΣτ for different pivot points. In each case, the x coordinate of the pivot point is given assuming that the x axis is parallel to the board with the origin located at the left end of the board. Which of the following is the correct Στu for the given pivot point? Torques that would cause a counterclockwise rotation are positive. There may be more than one correct answer. Pivot point Στ A x = 0 1MgL+F d=0 2 2 1 B x = L 2MgL−F (L−d)2F L=0 1 C x = 0 − MgL+F d=0 2 2 1 D x = d −F 1−F 2( d− L =0 ) 2 E x= 1L − F L+1 2( d− L =0) 2 2 2 F x= 1L 1F L+F d− L =0 2 2 1 2( 2 ) Enter the letter(s) of the correct equation(s) in alphabetical order. For instance, if you thought that choices A, B, and D were correct, you would enter ABD. 17/29 4/16/2016 Ch 12 HW Hint 1. Finding the torque The torque τ due to a force is the product of the magnFt of the force and the moment ar of the force: τ = F ⋅l . As shown in the figure, the moment arm of the force is the perpendicular distance between the axis of rotation and the line of action of the force. If the line of action of the force goes through the axis of rotation that you have chosen, the moment arm of the force is equal to zero. Hence, this force will not cause a torque about the chosen axis. ANSWER: BCE ANSWER: F 2,d  =  87.0,2.53  N, m    Correct Assess Part D Now, assume that Tweedledum applies an upward force at the far left end of the Fleft and that Tweedledee applies an upward force at the far right end of theFbright. With what force does each person lift? Recall that the mass of the board Ms  andg is the acceleration due to gravity. ANSWER: 18/29 4/16/2016 Ch 12 HW Fleft 2Mg ;F right 2Mg Fleft 0 ;Fright= Mg 1 1 Fleft= 2 Mg ;F right 2Mg Fleft= 1 Mg ; \large{F_{\rm right}=\frac{3}{2}Mg} 2 F_{\rm left}=Mg; F_{\rm right}=0 Correct When two people hold the board at equal distances from the board's center of mass, they must each exert the same force on the board, that is, F_{\rm left} = F_{\rm right}. If F_{\rm left} \neq F_{\rm right}, the board would rotate. Since the net force on the board must be zero, F_{\rm left} + F_{\rm right} = Mg. Hence, each person must exert a force on the board equal to Mg/2. Consider the original situation, in which the person on the right (Tweedledee) held the board closer to the center of mass than the person holding the left end of the board (Tweedledum). If you consider a rotation axis through the center of mass, the net torque about that axis must be zero. Since torque is directly proportional to both force and moment arm, when one person holds the board closer to the center of mass (smaller moment arm), that person must exert more force to create a torque with the same magnitude as the person holding the board farther from the center of mass. Your calculations confirmed this fact. A Bar Suspended by Two Vertical Strings A rigid, uniform, horizontal bar of mass \texttip{m_{\rm 1}}{m_1} and length \texttip{L}{L} is supported by two identical massless strings. Both strings are vertical. String A is attached at a distance d < L/2 from the left end of the bar and is connected to the ceiling; string B is attached to the left end of the bar and is connected to the floor. A small block of mass \texttip{m_{\rm 2}}{m_2} is supported against gravity by the bar at a distance \texttip{x}{x} from the left end of the bar, as shown in the figure. Throughout this problem positive torque is that which spins an object counterclockwise. Use \texttip{g}{g} for the magnitude of the acceleration due to gravity. Part A Find \texttip{T_{\mit A}}{T_A}, the tension in string A. Express the tension in string A in terms of \texttip{g}{g}, \texttip{m_{\rm 1}}{m_1}, \texttip{L}{L}, \texttip{d} {d}, \texttip{m_{\rm 2}}{m_2}, and \texttip{x}{x}. 19/29 4/16/2016 Ch 12 HW Hint 1. Choosing an axis Choose a rotation axis p, about which to apply the requirement \sum\tau_p = 0. Since the system is in static equilibrium, the choice of rotation axis is arbitrary; however, there is a convenient choice of p to find \texttip{T_{\mit A}}{T_A} by eliminating the torque from an unknown force. Hint 2. Find the torque around the best axis It is convenient to choose the rotation axis to be through the point where string B is attached to the bar. This eliminates any torque from the tension in string B. Find the total torque about this point. Answer in terms of \texttip{T_{\mit A}}{T_A}, \texttip{m_{\rm 1}}{m_1}, \texttip{m_{\rm 2}}{m_2}, \texttip{L}{L}, \texttip{x}{x}, \texttip{d}{d}, and \texttip{g}{g}. ANSWER: \sum\tau_B =  \large{T_{A} d ­ \frac{m_{1} g L}{2} ­ m_{2} g x} Hint 3. Summing the torques \sum\tau_p = 0 for a static system. Solve for \texttip{T_{\mit A}}{T_A}. ANSWER: \texttip{T_{\mit A}}{T_A} =  \large{{\frac{g}{d}}\left({\frac{m_{1} L}{2}}+m_{2} x\right)} Correct Part B Find \texttip{T_{\mit B}}{T_B}, the magnitude of the tension in string B. Express the magnitude of the tension in string B in terms of \texttip{T_{\mit A}}{T_A}, \texttip{m_{\rm 1}} {m_1}, \texttip{m_{\rm 2}}{m_2}, and \texttip{g}{g}. Hint 1. Two different methods to find \texttip{T_{\mit B}}{T_B} There are two equivalent ways to find \texttip{T_{\mit B}}{T_B}. One way is to balance the torques as was done in the calculation of \texttip{T_{\mit A}}{T_A}, except using a different rotation axis. In this case, a convenient axis is through the point where string A is attached to the bar. The second, and easier, method is to use the second equation for static equilibrium, \sum\vec{F}=0. Hint 2. Direction of forces Since both strings are vertical, all forces on the bar­­the tension forces and the weights of the bar and block­­ act vertically. Thus, only vertical components of forces need be considered. ANSWER: 20/29 4/16/2016 Ch 12 HW \texttip{T_{\mit B}}{T_B} =  T_{A}­g\left(m_{1}+m_{2}\right) Correct Part C If the bar and block are too heavy the strings may break. Which of the two identical strings will break first? ANSWER: string A string B Correct Part D If the mass of the block is too large and the block is too close to the left end of the bar (near string B) then the horizontal bar may become unstable (i.e., the bar may no longer remain horizontal). What is the smallest possible value of \texttip{x}{x} such that the bar remains stable (call it \texttip{x_{\rm critical}} {x_critical})? Express your answer for \texttip{x_{\rm critical}}{x_critical} in terms of \texttip{m_{\rm 1}}{m_1}, \texttip{m_{\rm 2}}{m_2}, \texttip{d}{d}, and \texttip{L}{L}. Hint 1. Nature of the unstable motion When the bar becomes unstable there are only two points about which the bar can rotate: the points where the strings attach to the bar. About which point will the bar rotate when x < x_{\rm critical}? ANSWER: The point where string A is attached to the bar The point where string B is attached to the bar Hint 2. Tension in string B at the critical point The tension in string B counteracts the clockwise rotation of the bar about the point where string A is attached to the bar. As \texttip{x}{x} is decreased, \texttip{T_{\mit B}}{T_B} is likewise decreased because the clockwise torque about this point decreases. The critical value \texttip{x_{\rm critical}}{x_critical} corresponds to when T_B = 0. If \texttip{x}{x} is decreased further, \texttip{T_{\mit B}}{T_B} will continue to be zero and the counterclockwise torque due to the weight of the block will be greater than the clockwise torque due to the weight of the bar, causing the system to rotate. Hint 3. Calculate the torques 21/29 4/16/2016 Ch 12 HW Add up the total torque about the point in which string A attaches to the bar when the mass \texttip{m_{\rm 2}}{m_2} is at \texttip{x_{\rm critical}}{x_critical}. Remember that \texttip{T_{\mit B}}{T_B} has a special value at this point and that, owing to the choice of origin, the torque due to string A is 0. Remember to pay attention to the direction of the torques. Answer in terms of \texttip{m_{\rm 2}}{m_2}, \texttip{m_{\rm 1}}{m_1}, \texttip{d}{d}, \texttip{L}{L}, \texttip{g}{g}, and \texttip{x_{\rm critical}}{x_critical}. Hint 1. Find the distance of the center of mass of the bar from string A What is the distance \texttip{d_{\rm 1}}{d_1} of the center of mass of the bar from string A? Answer in terms of the given variables. ANSWER: \texttip{d_{\rm 1}}{d_1} =  \large{\frac{L}{2}­d} Hint 2. Find the distance of \texttip{m_{\rm 2}}{m_2} from the string A What is the distance \texttip{d_{\rm 2}}{d_2} of \texttip{m_{\rm 2}}{m_2} from the string A? Answer in terms of the given variables. ANSWER: \texttip{d_{\rm 2}}{d_2} =  d­x_{\rm{critical}} ANSWER: \sum\tau_A = 0 =  \large{m_{2} g \left(d­x_{\rm{critical}}\right)­m_{1} g \left(\frac{L}{2}­d\right)} ANSWER: \texttip{x_{\rm critical}}{x_critical} =  \large{d{\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{2}}}­{\frac{Lm_{1}}{2m_{2}}}} Correct Part E Note that \texttip{x_{\rm critical}}{x_critical}, as computed in the previous part, is not necessarily positive. If x_{\rm critical} < 0, the bar will be stable no matter where the block of mass \texttip{m_{\rm 2}}{m_2} is placed on it. Assuming that \texttip{m_{\rm 1}}{m_1}, \texttip{d}{d}, and \texttip{L}{L} are held fixed, what is the maximum block mass \texttip{m_{\rm max}}{m_max} for which the bar will always be stable? In other words, what is the maximum block mass such that x_{\rm critical} \leq 0? Answer in terms of \texttip{m_{\rm 1}}{m_1}, \texttip{d}{d}, and \texttip{L}{L}. 22/29 4/16/2016 Ch 12 HW Hint 1. Requirement of stability If \texttip{x}{x} is calculated to be less than zero, the solution is unphysical. (The bar does not extend there to support it!) The minimum value that \texttip{x}{x} can have is obviously zero. If \texttip{m}{m} is less than the mass that would give x_{\rm critical}=0 then the bar will be stable for any physical value of \texttip{x}{x}. ANSWER: \texttip{m_{\rm max}}{m_max} =  \large{m_{1}\left(\left({\frac{L}{2d}}\right)­1\right)} Correct An Unfair Race This applet shows the results of releasing a frictionless block and a rolling disk with equal masses from the top of identical inclined planes. Part A Which of the following is the best explanation of the results shown in the applet? ANSWER: The disk loses energy to friction as it rolls, but the box is frictionless and so it speeds up more quickly and gets to the bottom first. The potential energy of the disk is converted into translational and rotational kinetic energy, so the translational speed grows more slowly than that of the box, which has no rotational energy. The net forces on the two objects are equal, but the force on the disk gets partially used up in creating the torque necessary to make it roll. The net forces on the two objects are equal, but the force on the disk is not directed parallel to the ramp, and so does not create as great an acceleration down the ramp. Correct This applet shows the same situation, but it also shows, through bar graphs that change with time, the way that the energy is transformed as the box and the disk go down the inclined plane. Assume that the box and disk each have mass \texttip{m}{m}, the top of the incline is at height \texttip{h}{h}, and the angle between the incline and the ground is \texttip{\theta }{theta} (i.e., the incline is at an angle \texttip{\theta }{theta} above the horizontal). Also, let the radius of the disk be \texttip{R}{R}. Part B How much sooner does the box reach the bottom of the incline than the disk? 23/29 4/16/2016 Ch 12 HW Express your answer in terms of some or all of the variables \texttip{m}{m}, \texttip{h}{h}, \texttip{\theta } {theta}, and \texttip{R}{R}, as well as the acceleration due to gravity \texttip{g}{g}. Hint 1. How to approach the problem You can use conservation of energy to determine the final speed at the bottom of the ramp for each object. From that, you can determine the average speed and then use kinematics to determine the time to get to the bottom. The difference in times for the two objects to get to the bottom is what you are trying to find. If you take the direction down the inclined plane as the positive x axis, then the velocities are always positive and one­dimensional in the x direction, so the velocity and the speed have the same sign. Hint 2. Find the final speed of the box Determine the speed \texttip{v_{\rm box}}{v_box} of the box at the bottom of the ramp. Express your answer in terms of some or all of the variables \texttip{m}{m}, \texttip{h}{h}, \texttip{\theta }{theta}, and \texttip{R}{R}, as well as the acceleration due to gravity \texttip{g}{g}. Hint 1. Using conservation of energy Initially, the box has only gravitational potential energy mgh. At the bottom of the incline, all its potential energy has been converted to kinetic energy \large{\frac12 mv_{\rm box}^2}. Thus, \large{mgh=\frac 1 2 mv_{\rm box}^2}. You can solve this equation to find \texttip{v_{\rm box}}{v_box} in terms of the given variables. ANSWER: \texttip{v_{\rm box}}{v_box} =  \sqrt{2 g h} Hint 3. Find the final speed of the disk Determine the speed \texttip{v_{\rm disk}}{v_disk} of the center of mass of the disk at the bottom of the ramp. Be certain to account for translational and rotational kinetic energy. Express your answer in terms of some or all of the variables \texttip{m}{m}, \texttip{h}{h}, \texttip{\theta }{theta}, and \texttip{R}{R}, as well as the acceleration due to gravity \texttip{g}{g}. Hint 1. Using conservation of energy Initially, the disk has only gravitational potential energy mgh. At the bottom of the incline, the potential energy has been entirely converted to kinetic energy. However, the kinetic energy is not simply \large{\frac 12mv_{\rm disk}^2}, because the disk has rotational kinetic energy as well. The total kinetic energy is \large{\frac12 mv_{\rm disk}^2+\frac12 I\omega^2}, where \texttip{I}{I} is the moment of inertia and \texttip{\omega }{omega} is the angular speed. Thus, \large{mgh=\frac 12 mv_{\rm disk}^2+\frac 12 I\omega^2}. You need to find the values of \texttip{I}{I} and \texttip{\omega }{omega} in terms of the given variables before you solve for \texttip{v_{\rm disk}}{v_disk}. Hint 2. Moment of inertia for a disk 24/29 4/16/2016 Ch 12 HW The moment of inertia \texttip{I}{I} for a uniform disk of radius \texttip{R}{R} and mass \texttip{m}{m} is \large{I=\frac 1 2 m R^2}. Hint 3. Relating angular speed and the speed of the center of mass Recall that you are assuming that the disk is rolling without slipping. When a disk (or other object with circular cross section) rolls without slipping, it follows the relation v=\omega R, where \texttip{v}{v} is the speed of the center of mass, \texttip{R}{R} is the radius, and \texttip{\omega }{omega} is the angular speed. ANSWER: \texttip{v_{\rm disk}}{v_disk} =  \large{\sqrt{\frac{4 g h}{3}}} Hint 4. Finding the average speed Since the forces remain constant throughout the motion, this must be motion with constant acceleration. Therefore, the velocity must change linearly. Recall that in motion with constant acceleration, the average velocity \texttip{v_{\rm avg}}{v_avg} is given by the formula v_{\rm avg}=(v_{\rm initial}+v_{\rm final})/2, where \texttip{v_{\rm initial}}{v_initial} and \texttip{v_{\rm final}}{v_final} are the initial and final velocities. Hint 5. Finding the time from the average speed Recall that average velocity \texttip{v_{\rm avg}}{v_avg} is defined by \large{v_{\rm avg}=\frac{x_{\rm final}­x_{\rm initial}}{t_{\rm final}­t_{\rm initial}}}, where \texttip{x_{\rm final}}{x_final} and \texttip{x_{\rm initial}}{x_initial} are the final and initial positions, and \texttip{t_{\rm final}}{t_final} and \texttip{t_{\rm initial}}{t_initial} are the final and initial times. The change in time is what you want to find, and the change in position is just the length of the inclined plane. Hint 6. Find the length of the incline What is the length \texttip{L}{L} of the inclined plane? The figure may be helpful. Express your answer in terms of one or both of the variables \texttip{h}{h} and \texttip{\theta }{theta}. ANSWER: 25/29 4/16/2016 Ch 12 HW \texttip{L}{L} =  \large{\frac{h}{{\sin}\left({\theta}\right)}} ANSWER: \large{\frac{\sqrt{\frac{3h}{g}}­\sqrt{\frac{2h}{g}}}{{\sin}\left({\theta}\right)}} Correct You should look at your answer and consider limiting cases. A simple one is that the time difference should tend to zero as the length of the board shrinks to zero. Simply express the height of the board in terms of the length of the incline and you'll see that your answer indeed behaves this way. Your answer also predicts that the difference in time grows longer as \texttip{\theta }{theta} shrinks toward zero while the height remains fixed (i.e., the difference in time grows longer as the length of the board grows longer). It might not be immediately obvious to you that this should happen, but it is not inconceivable, and you can do some simple experiments to see that it is actually true. As \texttip{\theta }{theta} grows toward \pi/2\;{\rm rad}=90^\circ, you might expect the difference in time to go to zero, because if you drop a disk and a box they fall at the same rate. However, recall that your derivation included the assumption that the disk rolls without slipping, which is definitely not the case if the disk is simply dropped vertically. Therefore, this formula shouldn't apply to the case of simply dropping the disk and box. Can you think of a situation with a vertical drop in which the disk would obey v=\omega R? Problem 12.46 Part A What is the magnitude of the angular momentum of the 2.80 {\rm kg} , 5.80­cm­diameter rotating disk in the figure ? ANSWER: 26/29 4/16/2016 Ch 12 HW 7.40×10 −2   \rm{kg\,m^2/s}   Correct Part B What is its direction? ANSWER: x direction ­x direction y direction ­y direction z direction ­z direction Correct Problem 12.70 Blocks of mass m_1 and m_2 are connected by a massless string that passes over the pulley in the figure . The pulley turns on frictionless bearings, and mass m_1 slides on a horizontal, frictionless surface. Mass m_2 is released while the blocks are at rest. Part A Assume the pulley is massless. Find the acceleration of m_1. Express your answer in terms of the given quantities. 27/29 4/16/2016 Ch 12 HW ANSWER: a_1 =  \large{\frac{m_{2} g}{m_{1}+m_{2}}} Correct Part B Find the tension in the string. Express your answer in terms of the given quantities. ANSWER: T =  \large{\frac{m_{1} m_{2} g}{m_{1}+m_{2}}} Correct Part C Suppose the pulley has mass m_p and radius R. Find the acceleration of m_1. Verify that your answers agree with part A if you set m_p=0. Express your answer in terms of the given quantities. ANSWER: a_1 =  \large{\frac{m_{2} g}{m_{1}+m_{2}+{\frac{1}{2}}m_{p}}} Correct Part D Find the tension in the upper portion of the string. Verify that your answers agree with part B if you set m_p=0. Express your answer in terms of the given quantities. ANSWER: T_{upper} =  \large{\frac{m_{1} m_{2} g}{{\frac{1}{2}}m_{p}+m_{1}+m_{2}}} Correct Part E Find the tension in the lower portions of the string. Verify that your answers agree with part B if you set m_p=0. 28/29 4/16/2016 Ch 12 HW Express your answer in terms of the given quantities. ANSWER: T_{lower} =  \large{m_{2} g­{\frac{m_{2}{^2}g}{{\frac{1}{2}}m_{p}+m_{1}+m_{2}}}} Correct Problem 12.79 A 10 \rm g bullet traveling at 430 {\rm m/s} strikes a 11 {\rm kg} , 1.0­\rm m­wide door at the edge opposite the hinge. The bullet embeds itself in the door, causing the door to swing open. Part A What is the angular velocity of the door just after impact? Express your answer to two significant figures and include the appropriate units. ANSWER: w =  1.2 \large{{\rm \frac{rad}{s}}} Correct Score Summary: Your score on this assignment is 99.7%. You received 119.69 out of a possible total of 120 points. 29/29


Buy Material

Are you sure you want to buy this material for

50 Karma

Buy Material

BOOM! Enjoy Your Free Notes!

We've added these Notes to your profile, click here to view them now.


You're already Subscribed!

Looks like you've already subscribed to StudySoup, you won't need to purchase another subscription to get this material. To access this material simply click 'View Full Document'

Why people love StudySoup

Steve Martinelli UC Los Angeles

"There's no way I would have passed my Organic Chemistry class this semester without the notes and study guides I got from StudySoup."

Amaris Trozzo George Washington University

"I made $350 in just two days after posting my first study guide."

Steve Martinelli UC Los Angeles

"There's no way I would have passed my Organic Chemistry class this semester without the notes and study guides I got from StudySoup."


"Their 'Elite Notetakers' are making over $1,200/month in sales by creating high quality content that helps their classmates in a time of need."

Become an Elite Notetaker and start selling your notes online!

Refund Policy


All subscriptions to StudySoup are paid in full at the time of subscribing. To change your credit card information or to cancel your subscription, go to "Edit Settings". All credit card information will be available there. If you should decide to cancel your subscription, it will continue to be valid until the next payment period, as all payments for the current period were made in advance. For special circumstances, please email


StudySoup has more than 1 million course-specific study resources to help students study smarter. If you’re having trouble finding what you’re looking for, our customer support team can help you find what you need! Feel free to contact them here:

Recurring Subscriptions: If you have canceled your recurring subscription on the day of renewal and have not downloaded any documents, you may request a refund by submitting an email to

Satisfaction Guarantee: If you’re not satisfied with your subscription, you can contact us for further help. Contact must be made within 3 business days of your subscription purchase and your refund request will be subject for review.

Please Note: Refunds can never be provided more than 30 days after the initial purchase date regardless of your activity on the site.