Limited time offer 20% OFF StudySoup Subscription details

UMD - MATH 240 - Study Guide - Final

Created by: ErinNordquist Notetaker Elite Notetaker

> > > > UMD - MATH 240 - Study Guide - Final

UMD - MATH 240 - Study Guide - Final

5 5 3 57 Reviews
This preview shows pages 1 - 5 of a 22 page document. to view the rest of the content
background image Math 240   Final Exam Study Guide    Ch.1: Linear Equations in Linear Algebra  1.1: Systems of Linear Equations  ● Consistent ​ - has at least one solution  ● Echelon Form ​ - nonzero rows are above zero rows, leading entry of row is a column to  the right of the leading entry above it, columns below leading entries are zero.  ● Reduced Echelon Form ​ -(rref)- meets echelon form definition and leading entries are 1,  each leading 1 is the only nonzero entry in the column.   1.2: Row Reductions and Echelon Forms  ● Theorem 1:   ​There’s only one rref(reduced echelon form) for each matrix.  ● Pivot  ​- the position/column corresponding to the location of a leading 1 in rref.  ● Free Variable ​ - variable which can be set to any number and still give a valid solution to  the system. Identified when you get this row [0. . .0 | 0] in an augmented row reduced 
matrix. 
1.3: Vector Equations  ● Theorem 2:  System can only be consistent if the rightmost column of an augmented  matrix does NOT have a pivot position(ie no row can be all zeros except the last column 
in an aug. matrix). If a system is consistent, it has either one solution(no free variables) 
or an infinite amount of solutions.  
● Linear Combination ​ - the result of adding up the vectors in a set after multiplying each  of them by some weight  . c i    ● Span ​ - the set of all linear combinations of vectors in a set S.   1.4: The Matrix Equation Ax=b  ● Theorem 3:  If A is an m x n matrix, with columns   where  ​is in   then A x​ = ​b . . . , a 1 n , R m   and can be written as   where the   and   are vectors. a .. a x 1 1 + . + x n n b s a b   ● Theorem 4:  If A is an m x n matrix, these statements are either all true or all false. Note:  This is about a coefficient matrix not an augmented matrix.)   a. In  for every  b​, A​​= ​​has one solution R m   b. Each  b​ in​   is a linear combo of A’s columns. R m   c. “Columns of A span   “ R m   d. “A has a pivot in every row” (ie. no free variables)  ● Theorem 5 : A is m x n matrix,  u, v ​are vectors in  , and c is scalar. R n   a. (u ) Au v =     b. (cu c(Au) A =    
background image 1.5: Solution Sets of Linear Equations  ● The Homogeneous Equation ​ = A​x​ = ​ ● Parametric Vector Form ​ -  the equation written out with as few variables as possible(ie  only free variables remain)   ● Theorem 6:  A x​ = ​​is consistent for some ​b​, and ​​is a solution. A​​= ​b​ is the set of all  vectors of form   where   is any solution to A x​ = ​0​ and ​w​ is a vector. v h v h    1.7: Linear Independence  ● Linearly Independent  ​- set of vectors is linearly independent if   ○ it has no free variables 
○ has only the trivial solution to the homogeneous equation.  
○ If a set is not linearly independent, it is linearly dependent.  
● Theorem 7 : ​ Characterization of Linearly Dependent Sets - indexed set of vectors S is  linearly dependent if any of the vectors is a linear combo of the others.   ● Theorem 8 : If there are more columns than rows, the set is linearly dependent. (ie has  free variables)  ● Theorem 9:  If the set contains the zero vector, it is linearly dependent.  1.8: Introduction to Linear Transformations  ● Transformation ​(or function or mapping) from  : “a rule that assigns to each R n → R m   vector  x​ in   a vector T( x​) in  R n . R m   ● Domain ​ (of transformation)- the set  R n   ● Codomain  ​(of transformation) - the set  R m   ● Range  ​(of transformation) - the set of all images(results of transformation) T(​x​)   ● Linear  ​- a Transformation is linear if   ○ T( ​+ ​v​) = T(​u​) + T(​v​)  ○ T(c u​) = cT(​u​)  1.9: The Matrix of a Linear Transformation  ● Theorem 10:  Let   be a linear transformation. Then there exists a unique R n → R m   matrix A such that   for all   ​in  . In fact, A is the m x n matrix whose jth (x Ax T =   R n   column is the vector   where  is the jth column of the identity matrix in  . () T j   e j R n   () . . . ()] = [ 1 n    ● Onto  ​- a mapping   is onto   “if each  b​ in  is the image of  at  least  one  x R n → R m R m R m   in  . R n   ● One-to-one  ​- a mapping   is one-to-one “if each  b​ in  is the image of  at R n → R m R m   most  one  x ​ in  . R n   ● Theorem 11  is a linear transformation and is one-to-one iff T( x​) = ​0​ has R n → R m   only the trivial solution.    2.1: Matrix Operations   
background image ● Theorem 1:   Sums of Matrices and their Scalar Multiples :  A, B, C are matrices of same  size. r, s are scalars.  a. A + B = B + A 
b. (A+B) + C = A + (B + C) 
c. A + 0 = A 
d. r(A+B) = rA + rB 
e. (r+s)A = rA +sA 
f. r(sA) = (rs)A 
  ● Theorem 2:   Properties of Matrix Multiplication:  A is m x n matrix, B and C have sizes so  the following sums/products are defined. r is a scalar.  a. A(BC) = (AB)C         -- associative law of multiplication 
b. A(B+C) = AB + AC   -- left distributive law 
c. (B+C)A = BA + CA   -- right distributive law 
d. r(AB) = (rA)B=A(rB) 
e.
A = A = A          -- identity matrix law I m I n   ● Warnings:   1. in general AB does NOT equal BA 
2. Cancellation laws do not hold. Cancellation is done with inverses. 
3. If AB = 0 you can NOT conclude that A or B is 0. 
● Transpose  ​- “given A is m x n, the transpose of A is the n x m denoted by  whose A T   columns are formed from rows of A.”   ● Theorem 3 : A and B are matrices with appropriate sizes for the following equations. r is a  scalar.   a. ) ( T T   b. A ) ( + B T A T B T   c. rA) A ( T r T   d. AB) A ( T B T T   2.2: The Inverse of a Matrix  ● Theorem 4 : ​ Let A be the matrix shown below, if ad - bc  0, then a is invertible and its =/   inverse is given on the right. If ad - bc = 0 then it is not invertible and the right matrix is 
undefined.  
  ● Theorem 5:  If A is n x n and invertible, then for each  b​ in   A x​ = ​b​ has the one , R n     solution which is   ○ x ​ =  b A −1  
background image ● Theorem 6: Facts about Invertible Matrices   a. If A is an invertible matrix then its inverse it invertible and  ) (A −1 −1    b. If A and B are n x n invertible matrices, then so is AB, and  AB)   ( −1 B −1 −1   c. If A is invertible, so is  , and the inverse of  is the transpose of  A T A T A −1   ) ) (A −1 = ( −1 T    ● Theorem 7:  A, an n x n matrix, is invertible iff A is row equivalent to  . And in this case, I n   any sequence of elementary row operations that reduces A to   also transforms   into I n I n   A −1   2.3: Characterizations of Invertible Matrices  ● Theorem 8: The Invertible Matrix Theorem:  If A is an n x n matrix, then the following are  all true of all false.   a. A is invertible. 
b. A is row equivalent to the n x n identity matrix. 
c. A has n pivot positions (ie one in each row and column) 
d. A
x​ = ​0​ has only the trivial solution.  e. Columns of A are linearly independent. 
f. The linear transformation 
 is one-to-one.  | x → A   g. A x​ = ​b​ has at least one solution for every ​b​ in  . (ie has only one b/c of (f)) R n   h. Columns of A span  R n   i. The linear transformation   maps   | x → A R n → R n   j. There is an n x n matrix C such that CA = I  k. There is an n x n matrix D such that AD = I 
l.
is invertible. (m-t were added in later sections) A T      m. Columns of A form a basis for  R n   n. Col A =  R n   o. dim Col A = n 
p. rank A = n 
q. Nul A = {0} 
r. dim Nul A = 0 
s. 0 is not an eigenvalue for A 
t. det A does not equal 0 
  ● Theorem 9 : Let   be a linear transformation and let A be the standard matrix R n → R m   for T. The T is invertible iff A is an invertible matrix. In that case, the linear transformation 
S given by  
○ S( x​) =  x ​ is the unique function satisfying S(T(​x​)) = ​x​ and T(S(​x​)) = ​x A −1      
background image 3.1: Introduction to Determinants  ● From section 2.2,  Theorem 4: A 2 x 2 matrix, A, is invertible if its determinant  d = − / 0   ● In general, the determinant can be defined recursively. 
● when 
, the  determinant​ of an n x n matrix,   is the sum of n terms of the ≥ 2 ] = [ ij   form  , where the entries   are the first row of A.  det A ± a 1j 1j ,  . . a a 11   12 . 1n    et A  (− )  det A det A . . .  − ) a det A d =   ∑ n j=1 1 1+j 1j 1j a 11 11 − a 12 12 + ( 1 1+n 1n 1n   det A can also be written in terms of the (i, j) - cofactor   so  − ) det A C ij = ( 1 i+j ij et A  a C   a C  . . C d =   11 11 +   12 12 + . a 1n 1n   ● Theorem 1: The determinant of an n x n matrix A can be found using cofactor expansion  across any row or down any column.   ○ Expansion across the i-th row:  et A C C  . . C d a i1 i1 a i2 i2 + . a in in   ○ Expansion down j-th column:  et A C C  . .  C d a 1j 1j a 2j 2j + . a nj nj   ● Short Example:         1  0  0 
A =  6  3  4  
       1  5  2 
det A calculated across row 1 = 
  − )
1((3 ) 4 )) − ) 0((6 ) 4 )) − ) 0((6 ) 3 )) ( 1 1+1 * 2 − ( * 5 + ( 1 1+2 * 2 − ( * 1 + ( 1 1+3 * 5 − ( * 1   (− ) (− 4)   (− ) (0)  (− ) (0)   1 2 1 +   1 3 +   1 4     4 det A − 1 − 0 + 0 =   − 1 =       ● Theorem 2: If A is a triangular matrix then det A is the product of the entries on the main  diagonal of A .   ● Example:     1  2  3                A = 0  3  1 et A  1   15 d =   * 3 * 5 =                                     0  0  5  3.2: Properties of Determinants  ● Theorem 3: Row Operations; Let A be a square matrix.  a. If a multiple of a row of A is added to another row to produce a matrix B, then  det B = det A  b. If two rows of A are interchanged to produce B, det B = - det A 
c. If one row is multiplied by k to get B, det B = k(det A) 
● One way this theorem is used: a square matrix A has been reduced to some echelon  form U. If the entries on the main diagonal are all non-zero pivot positions then the 

This is the end of the preview. Please to view the rest of the content
Join more than 18,000+ college students at University of Maryland who use StudySoup to get ahead
School: University of Maryland
Department: Math
Course: Linear Algebra
Term: Winter 2016
Tags: Linear Algebra
Name: Math 240: Final Study Guide
Description: This study guide covers everything we've learned this semester.
Uploaded: 05/08/2017
22 Pages 109 Views 87 Unlocks
  • Better Grades Guarantee
  • 24/7 Homework help
  • Notes, Study Guides, Flashcards + More!
Join StudySoup for FREE
Get Full Access to UMB - MATH 240 - Study Guide - Final
Join with Email
Already have an account? Login here
×
Log in to StudySoup
Get Full Access to UMB - MATH 240 - Study Guide - Final

Forgot password? Reset password here

Reset your password

I don't want to reset my password

Need help? Contact support

Need an Account? Is not associated with an account
Sign up
We're here to help

Having trouble accessing your account? Let us help you, contact support at +1(510) 944-1054 or support@studysoup.com

Got it, thanks!
Password Reset Request Sent An email has been sent to the email address associated to your account. Follow the link in the email to reset your password. If you're having trouble finding our email please check your spam folder
Got it, thanks!
Already have an Account? Is already in use
Log in
Incorrect Password The password used to log in with this account is incorrect
Try Again

Forgot password? Reset it here