 Limited time offer 20% OFF StudySoup Subscription details

# UMD - MATH 240 - Study Guide - Final

### Created by: ErinNordquist Notetaker Elite Notetaker

> > > > UMD - MATH 240 - Study Guide - Final

UMD - MATH 240 - Study Guide - Final

5 5 3 57 Reviews
This preview shows pages 1 - 5 of a 22 page document. to view the rest of the content Math 240   Final Exam Study Guide    Ch.1: Linear Equations in Linear Algebra  1.1: Systems of Linear Equations  ● Consistent ​ - has at least one solution  ● Echelon Form ​ - nonzero rows are above zero rows, leading entry of row is a column to  the right of the leading entry above it, columns below leading entries are zero.  ● Reduced Echelon Form ​ -(rref)- meets echelon form definition and leading entries are 1,  each leading 1 is the only nonzero entry in the column.   1.2: Row Reductions and Echelon Forms  ● Theorem 1:   ​There’s only one rref(reduced echelon form) for each matrix.  ● Pivot  ​- the position/column corresponding to the location of a leading 1 in rref.  ● Free Variable ​ - variable which can be set to any number and still give a valid solution to  the system. Identified when you get this row [0. . .0 | 0] in an augmented row reduced
matrix.
1.3: Vector Equations  ● Theorem 2:  System can only be consistent if the rightmost column of an augmented  matrix does NOT have a pivot position(ie no row can be all zeros except the last column
in an aug. matrix). If a system is consistent, it has either one solution(no free variables)
or an infinite amount of solutions.
● Linear Combination ​ - the result of adding up the vectors in a set after multiplying each  of them by some weight  . c i    ● Span ​ - the set of all linear combinations of vectors in a set S.   1.4: The Matrix Equation Ax=b  ● Theorem 3:  If A is an m x n matrix, with columns   where  ​is in   then A x​ = ​b . . . , a 1 n , R m   and can be written as   where the   and   are vectors. a .. a x 1 1 + . + x n n b s a b   ● Theorem 4:  If A is an m x n matrix, these statements are either all true or all false. Note:  This is about a coefficient matrix not an augmented matrix.)   a. In  for every  b​, A​​= ​​has one solution R m   b. Each  b​ in​   is a linear combo of A’s columns. R m   c. “Columns of A span   “ R m   d. “A has a pivot in every row” (ie. no free variables)  ● Theorem 5 : A is m x n matrix,  u, v ​are vectors in  , and c is scalar. R n   a. (u ) Au v =     b. (cu c(Au) A = 1.5: Solution Sets of Linear Equations  ● The Homogeneous Equation ​ = A​x​ = ​ ● Parametric Vector Form ​ -  the equation written out with as few variables as possible(ie  only free variables remain)   ● Theorem 6:  A x​ = ​​is consistent for some ​b​, and ​​is a solution. A​​= ​b​ is the set of all  vectors of form   where   is any solution to A x​ = ​0​ and ​w​ is a vector. v h v h    1.7: Linear Independence  ● Linearly Independent  ​- set of vectors is linearly independent if   ○ it has no free variables
○ has only the trivial solution to the homogeneous equation.
○ If a set is not linearly independent, it is linearly dependent.
● Theorem 7 : ​ Characterization of Linearly Dependent Sets - indexed set of vectors S is  linearly dependent if any of the vectors is a linear combo of the others.   ● Theorem 8 : If there are more columns than rows, the set is linearly dependent. (ie has  free variables)  ● Theorem 9:  If the set contains the zero vector, it is linearly dependent.  1.8: Introduction to Linear Transformations  ● Transformation ​(or function or mapping) from  : “a rule that assigns to each R n → R m   vector  x​ in   a vector T( x​) in  R n . R m   ● Domain ​ (of transformation)- the set  R n   ● Codomain  ​(of transformation) - the set  R m   ● Range  ​(of transformation) - the set of all images(results of transformation) T(​x​)   ● Linear  ​- a Transformation is linear if   ○ T( ​+ ​v​) = T(​u​) + T(​v​)  ○ T(c u​) = cT(​u​)  1.9: The Matrix of a Linear Transformation  ● Theorem 10:  Let   be a linear transformation. Then there exists a unique R n → R m   matrix A such that   for all   ​in  . In fact, A is the m x n matrix whose jth (x Ax T =   R n   column is the vector   where  is the jth column of the identity matrix in  . () T j   e j R n   () . . . ()] = [ 1 n    ● Onto  ​- a mapping   is onto   “if each  b​ in  is the image of  at  least  one  x R n → R m R m R m   in  . R n   ● One-to-one  ​- a mapping   is one-to-one “if each  b​ in  is the image of  at R n → R m R m   most  one  x ​ in  . R n   ● Theorem 11  is a linear transformation and is one-to-one iff T( x​) = ​0​ has R n → R m   only the trivial solution.    2.1: Matrix Operations ● Theorem 1:   Sums of Matrices and their Scalar Multiples :  A, B, C are matrices of same  size. r, s are scalars.  a. A + B = B + A
b. (A+B) + C = A + (B + C)
c. A + 0 = A
d. r(A+B) = rA + rB
e. (r+s)A = rA +sA
f. r(sA) = (rs)A
● Theorem 2:   Properties of Matrix Multiplication:  A is m x n matrix, B and C have sizes so  the following sums/products are defined. r is a scalar.  a. A(BC) = (AB)C         -- associative law of multiplication
b. A(B+C) = AB + AC   -- left distributive law
c. (B+C)A = BA + CA   -- right distributive law
d. r(AB) = (rA)B=A(rB)
e.
A = A = A          -- identity matrix law I m I n   ● Warnings:   1. in general AB does NOT equal BA
2. Cancellation laws do not hold. Cancellation is done with inverses.
3. If AB = 0 you can NOT conclude that A or B is 0.
● Transpose  ​- “given A is m x n, the transpose of A is the n x m denoted by  whose A T   columns are formed from rows of A.”   ● Theorem 3 : A and B are matrices with appropriate sizes for the following equations. r is a  scalar.   a. ) ( T T   b. A ) ( + B T A T B T   c. rA) A ( T r T   d. AB) A ( T B T T   2.2: The Inverse of a Matrix  ● Theorem 4 : ​ Let A be the matrix shown below, if ad - bc  0, then a is invertible and its =/   inverse is given on the right. If ad - bc = 0 then it is not invertible and the right matrix is
undefined.
● Theorem 5:  If A is n x n and invertible, then for each  b​ in   A x​ = ​b​ has the one , R n     solution which is   ○ x ​ =  b A −1 ● Theorem 6: Facts about Invertible Matrices   a. If A is an invertible matrix then its inverse it invertible and  ) (A −1 −1    b. If A and B are n x n invertible matrices, then so is AB, and  AB)   ( −1 B −1 −1   c. If A is invertible, so is  , and the inverse of  is the transpose of  A T A T A −1   ) ) (A −1 = ( −1 T    ● Theorem 7:  A, an n x n matrix, is invertible iff A is row equivalent to  . And in this case, I n   any sequence of elementary row operations that reduces A to   also transforms   into I n I n   A −1   2.3: Characterizations of Invertible Matrices  ● Theorem 8: The Invertible Matrix Theorem:  If A is an n x n matrix, then the following are  all true of all false.   a. A is invertible.
b. A is row equivalent to the n x n identity matrix.
c. A has n pivot positions (ie one in each row and column)
d. A
x​ = ​0​ has only the trivial solution.  e. Columns of A are linearly independent.
f. The linear transformation
is one-to-one.  | x → A   g. A x​ = ​b​ has at least one solution for every ​b​ in  . (ie has only one b/c of (f)) R n   h. Columns of A span  R n   i. The linear transformation   maps   | x → A R n → R n   j. There is an n x n matrix C such that CA = I  k. There is an n x n matrix D such that AD = I
l.
is invertible. (m-t were added in later sections) A T      m. Columns of A form a basis for  R n   n. Col A =  R n   o. dim Col A = n
p. rank A = n
q. Nul A = {0}
r. dim Nul A = 0
s. 0 is not an eigenvalue for A
t. det A does not equal 0
● Theorem 9 : Let   be a linear transformation and let A be the standard matrix R n → R m   for T. The T is invertible iff A is an invertible matrix. In that case, the linear transformation
S given by
○ S( x​) =  x ​ is the unique function satisfying S(T(​x​)) = ​x​ and T(S(​x​)) = ​x A −1 3.1: Introduction to Determinants  ● From section 2.2,  Theorem 4: A 2 x 2 matrix, A, is invertible if its determinant  d = − / 0   ● In general, the determinant can be defined recursively.
● when
, the  determinant​ of an n x n matrix,   is the sum of n terms of the ≥ 2 ] = [ ij   form  , where the entries   are the first row of A.  det A ± a 1j 1j ,  . . a a 11   12 . 1n    et A  (− )  det A det A . . .  − ) a det A d =   ∑ n j=1 1 1+j 1j 1j a 11 11 − a 12 12 + ( 1 1+n 1n 1n   det A can also be written in terms of the (i, j) - cofactor   so  − ) det A C ij = ( 1 i+j ij et A  a C   a C  . . C d =   11 11 +   12 12 + . a 1n 1n   ● Theorem 1: The determinant of an n x n matrix A can be found using cofactor expansion  across any row or down any column.   ○ Expansion across the i-th row:  et A C C  . . C d a i1 i1 a i2 i2 + . a in in   ○ Expansion down j-th column:  et A C C  . .  C d a 1j 1j a 2j 2j + . a nj nj   ● Short Example:         1  0  0
A =  6  3  4
1  5  2
det A calculated across row 1 =
− )
1((3 ) 4 )) − ) 0((6 ) 4 )) − ) 0((6 ) 3 )) ( 1 1+1 * 2 − ( * 5 + ( 1 1+2 * 2 − ( * 1 + ( 1 1+3 * 5 − ( * 1   (− ) (− 4)   (− ) (0)  (− ) (0)   1 2 1 +   1 3 +   1 4     4 det A − 1 − 0 + 0 =   − 1 =       ● Theorem 2: If A is a triangular matrix then det A is the product of the entries on the main  diagonal of A .   ● Example:     1  2  3                A = 0  3  1 et A  1   15 d =   * 3 * 5 =                                     0  0  5  3.2: Properties of Determinants  ● Theorem 3: Row Operations; Let A be a square matrix.  a. If a multiple of a row of A is added to another row to produce a matrix B, then  det B = det A  b. If two rows of A are interchanged to produce B, det B = - det A
c. If one row is multiplied by k to get B, det B = k(det A)
● One way this theorem is used: a square matrix A has been reduced to some echelon  form U. If the entries on the main diagonal are all non-zero pivot positions then the

This is the end of the preview. Please to view the rest of the content Join more than 18,000+ college students at University of Maryland who use StudySoup to get ahead
##### Description: This study guide covers everything we've learned this semester.
22 Pages 109 Views 87 Unlocks
• Notes, Study Guides, Flashcards + More!
Get Full Access to UMB - MATH 240 - Study Guide - Final
×
Get Full Access to UMB - MATH 240 - Study Guide - Final

I don't want to reset my password

Need help? Contact support

Need an Account? Is not associated with an account
We're here to help