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CH 9 to Ch 11 All in one

by: Aaditya Solanki

CH 9 to Ch 11 All in one PHYS 211

Marketplace > Portland State University > Physics 2 > PHYS 211 > CH 9 to Ch 11 All in one
Aaditya Solanki
Penn State
GPA 3.9

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Homework for chapter 9 to 11
Dr. ub dula
Class Notes
25 ?




Popular in Mechanics

Popular in Physics 2

This 86 page Class Notes was uploaded by Aaditya Solanki on Wednesday April 20, 2016. The Class Notes belongs to PHYS 211 at Portland State University taught by Dr. ub dula in Spring 2016. Since its upload, it has received 11 views. For similar materials see Mechanics in Physics 2 at Portland State University.

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Date Created: 04/20/16
4/20/2016 Ch 11 HW Ch 11 HW Due: 11:59pm on Monday, April 4, 2016 To understand how points are awarded, read the Grading Policy for this assignment. ± All Work and No Play Learning Goal: To be able to calculate work done by a constant force directed at different angles relative to displacement If an object undergoes displacement while being acted upon by a force (or several forces), it is said that work is being done on the object. If the object is moving in a straight line and the displacement and the force are known, the work done by the force can be calculated as ⃗  ∣ ∣  W = F ⋅s = F s c∣ ∣ ∣ ∣⃗ , ⃗  ⃗  where  W  is the work done by force  F  on the object that undergoes displacement  s directed at angle θ  relative toF . Note that depending on the value of  cosθ , the work done can be positive, negative, or zero. In this problem, you will practice calculating work done on an object moving in a straight line. The first series of questions is related to the accompanying figure. Part A ⃗  What can be said about the sign of the work done by the force  F 1? ANSWER: It is positive. It is negative. It is zero. There is not enough information to answer the question. Loading [MathJax]/jax/output/HTML­CSS/fonts/TeX/Main/Italic/LetterlikeSymbols.js 1/29 4/20/2016 Ch 11 HW Correct When  θ = 90 ∘, the cosine oθ  is zero, and therefore the work done is zero. Part B ⃗  What can be said about the work done by force F 2? ANSWER: It is positive. It is negative. It is zero. Correct ∘ ∘ When  0 < θ < 90 ,cosθ  is positive, and so the work done is positive. Part C The work done by force F 3  is ANSWER: positive negative zero Correct When  90 < θ < 180 ∘ ,cosθ  is negative, and so the work done is negative. Part D ⃗  The work done by force F 4  is ANSWER: positive negative zero Correct 2/29 4/20/2016 Ch 11 HW Part E The work done by force  F ⃗  is 5 ANSWER: positive negative zero Correct Part F The work done by force  F 6  is ANSWER: positive negative zero Correct Part G The work done by force  F 7  is ANSWER: positive negative zero Correct In the next series of questions, you will use the formula W = F ⋅s = F ∣s∣cosθ∣ ∣    ∣ ∣ to calculate the work done by various forces on an object that moves 160 meters to the right. 3/29 4/20/2016 Ch 11 HW Part H Find the woWk done by the 18­newton force. Use two significant figures in your answer. Express your answer in joules. ANSWER: W  =  2900 J   Correct Part I Find the woWk done by the 30­newton force. Use two significant figures in your answer. Express your answer in joules. ANSWER: W  =  4200 J   Correct Part J Find the woWk done by the 12­newton force. Use two significant figures in your answer. Express your answer in joules. ANSWER: W  =  ­1900 J 4/29 4/20/2016 Ch 11 HW Correct Part K Find the worW  done by the 15­newton force. Use two significant figures in your answer. Express your answer in joules. ANSWER: W  =  ­1800 J    Correct ± Tactics Box 11.1 Calculating the Work Done by a Constant Force Learning Goal: To practice Tactics Box 11.1 Calculating the Work Done by a Constant Force. ⃗  ⃗  Recall that the Wo done by a constant fFr at an angθ to the displacemdn is W = Fdcosθ . The vector magnitudF andd  are always positive, so theWs is determined entirely by thθ between the force and the displacement. TACTICS BOX 1 Calculating the work done by a constant force Sign of  Force and displacement θ WorkW Energy transfer W 0∘ F(Δr) + Energy is transferred into the system. The particle speedK up.   increases. < 90∘ F(Δr)cosθ + ∘ No energy is transferred. Speed 90 0 0 andK  are constant. 5/29 4/20/2016 Ch 11 HW > 90 ∘ F(Δr)cosθ − Energy is transferred out of the system. The particle slows down.  K  decreases. 180 ∘ −F(Δr) − A box has weight of magnitFde = 2.0N  accelerates down a rough plane that is inclined ϕt = 30.0 e  G above the horizontal, as shown at left. The normal force acting on the box has a magnin = 1.73N  , the coefficient of kinetic friction between the box and the plane is  ⃗  μk = 0.300, and the displacede of the box is m.80  down the inclined plane. Part A What is the worW gravdone on the box by gravity? Express your answers in joules to two significant figures. Hint 1. Draw a free­body diagram A box of weighw accelerates down a rough plane that is inclined at an angle 30.0   above the horizontal, as shown below. Draw a free­body diagram that identifies all the forces acting on the box. Draw all your vectors with their tails at the black dot. The location and orientation of your vectors will be graded. The length of your vectors will not be graded. ANSWER: 6/29 4/20/2016 Ch 11 HW Hint 2. Find the angle between the displacement and the weight ⃗  ⃗  What is the anglθ between the displacementd and the gravitational fFrGe? Express your answer in degrees to two significant figures. ANSWER: ∘ θ =  60       ANSWER: W grav=  1.8  J    Correct The component of the weight parallel to the displacement is less tNa . The weight transfers a moderate amount of energy to the system. Part B What is the worW   done on the box by the normal force? n Express your answers in joules to two significant figures. 7/29 4/20/2016 Ch 11 HW Hint 1. Find the angle between the displacement and the normal force What is the angle θ between the displacement d  and the normal forcen ?  Express your answer in degrees to two significant figures. ANSWER: ∘ θ  =  90       ANSWER: W n  =  0   J   Correct Because there is no component of the normal force in the direction of motion, the normal force does no work on the box. Part C What is the work W  done on the box by the force of kinetic friction? fk Express your answers in joules to two significant figures. Hint 1. Find the angle between the displacement and the force of kinetic friction ⃗  ⃗  What is the angle θ between the displacement d  and the force of kinetic frictfok?  Express your answer in degrees to two significant figures. ANSWER: ∘ θ  =  180       Hint 2. Find the force of kinetic friction What is the magnitude of the force of kinetic frictfo?,  k Express your answer in newtons to two significant figures. Hint 1. Calculating the force of kinetic friction The magnitude of the force of kinetic frictfon, is the product of the coefficient of kinetic μri,tion,  k k and the magnitude of the normal forcen : fk= μ nk . 8/29 4/20/2016 Ch 11 HW ANSWER: fk =  0.52  N    ANSWER: W k  =  ­0.94 J   Correct The force of kinetic friction acts in a direction opposite to the motion. The frictional force transfers a maximum amount of energy out of the system. The total work done on the box, 0J , is the sum of the work done on the box by each individual force: W = W +W +W = +0.86J . net n grav fk Notice that the net work done on the box is positive, which indicates that energy is added to the box. This energy is used to increase the kinetic energy of the box as it accelerates down the incline. Problem 11.6 Part A Evaluate the dot product of the vectors in . ANSWER: A ⋅B  = ­4.10 Correct Part B 9/29 4/20/2016 Ch 11 HW Evaluate the dot product of the vectors in . ANSWER: C ⋅D  =  ­20 Correct Part C Evaluate the dot product of the vectors in . ANSWER: E ⋅F  =  10.4 Correct Problem 11.12 The three ropes shown in the bird's­eye view of the figure are used to drag a crate 3m8  across the floor. 10/29 4/20/2016 Ch 11 HW Part A How much work is done by each of the three forces? Express your answers using two significant figures. Enter your answers numerically separated by commas. ANSWER: W 1,W 2,W 3  =  2.1,1.3,­2.5kJ    Correct Work and Kinetic Energy Two blocks of ice, one four times as heavy as the other, are at rest on a frozen lake. A person pushes each block the ⃗  same distanced . Ignore friction and assume that an equal Fo is exerted on each block. Part A Which of the following statements is true about the kinetic energy of the heavier block after the push? Hint 1. How to approach the problem The work­energy theorem states that the change in kinetic energy of an object equals the net work done on that object: W total= ΔK . The work done on an object can also be related to the disda that the object moves while being acted on ⃗  by a forcF : W = F d∥ , 11/29 4/20/2016 Ch 11 HW where F || is the component of F  parallel to the direction of displacement. Hint 2. Find the work done on each block What can be said about the net work done on the heavier block? ANSWER: It is greater than the work done on the lighter block. It is equal to the work done on the lighter block. It is less than the work done on the lighter block. ANSWER: It is smaller than the kinetic energy of the lighter block. It is equal to the kinetic energy of the lighter block. It is larger than the kinetic energy of the lighter block. It cannot be determined without knowing the force and the mass of each block. Correct The work­energy theorem states that the change in kinetic energy of an object equals the net work done on that object. The only force doing work on the blocks is the force from the person, which is the same in both cases. Since the initial kinetic energy of each block is zero, both blocks have the same final kinetic energy. Part B Compared to the speed of the heavier block, what is the speed of the light block after both blocks move the same distance d ? Hint 1. How to approach the problem In Part A, you determined that the kinetic energy of the heavier block was the same as that of the lighter block. Relate this to the speed of the blocks. Hint 2. Proportional reasoning Proportional reasoning becomes easier with practice. First relate the kinetic energies of the blocks to each other. To accomplish this, let the subscript \rm h refer to the heavier block and the subscript \ell to the lighter block. Now K_{\rm h} = K_{\ell} can be written as \large{\frac {1}{2} m_{\rm h} (v_{\rm h})^2 = \frac {1}{2} m_{\ell} (v_{\ell})^2}. The problem states that the heavier block is four time as massive as the lighter block. This can be 12/29 4/20/2016 Ch 11 HW represented by the expression m_{\rm h} = 4 m_{\ell}. Substituting this expression into the expression for kinetic energy yields \large{\frac {1}{2} (4 m_{\ell}) (v_{\rm h})^2 = \frac {1}{2} m_{\ell} (v_{\ell})^2}. How many times larger than v_{\rm h}^2 is v_{\ell}^2? ANSWER: v_{\ell}^2 =  4   v_{\rm h}^2   ANSWER: one quarter as fast half as fast the same speed twice as fast four times as fast Correct Since the kinetic energy of the lighter block is equal to the kinetic energy of the heavier block, the lighter block must be moving faster than the heavier block. Part C Now assume that both blocks have the same speed after being pushed with the same force \texttip{\vec{F}}{F_vec}. What can be said about the distances the two blocks are pushed? Hint 1. How to approach the problem The work­energy theorem states that the change in kinetic energy of an object equals the net work done on that object: W_{\rm total} = \Delta K. The work done on an object can also be related to the distance \texttip{d}{d} that the object moves while being acted on by a force \texttip{\vec{F}}{F_vec}: W = F_{\|}d, where \texttip{F_{\rm ||}}{F_||} is the component of \texttip{\vec{F}}{F_vec} parallel to the direction of displacement. Hint 2. Relate the kinetic energies of the blocks Let the subscript \rm h refer to the heavier block and the subscript \ell to the lighter block. What is the ratio 13/29 4/20/2016 Ch 11 HW \large{\frac {K_{\rm h}}{K_{\ell}}}? Hint 1. The kinetic energies To relate the kinetic energies of the blocks to each other, recall that v_{\rm h} = v_{\ell} and m_{\rm h} = 4 m_{\ell}. ANSWER: \large{\frac {K_{\rm h}}{K_{\ell}}} =  4 Hint 3. Compare the amount of work done on each block In the previous hint, you found that K_{\rm h} = 4K_{\ell}. What is the ratio of the work done on the heavy block to the work done on the lighter block, \large{\frac {W_{\rm h}}{W_{\ell}}}? ANSWER: \large{\frac {W_{\rm h}}{W_{\ell}}} =  4 ANSWER: The heavy block must be pushed 16 times farther than the light block. The heavy block must be pushed 4 times farther than the light block. The heavy block must be pushed 2 times farther than the light block. The heavy block must be pushed the same distance as the light block. The heavy block must be pushed half as far as the light block. Correct Because the heavier block has four times the mass of the lighter block, when the two blocks travel with the same speed, the heavier block will have four times as much kinetic energy. The work­energy theorem implies that four times more work must be done on the heavier block than on the lighter block. Since the same force is applied to both blocks, the heavier block must be pushed through four times the distance as the lighter block. PSS 11.1 Solving Energy Problems Learning Goal: 14/29 4/20/2016 Ch 11 HW To practice Problem­Solving Strategy 11.1 for energy problems. A sled is being held at rest on a slope that makes an angle \texttip{\theta }{theta} with the horizontal. After the sled is released, it slides a distance \texttip{d_{\rm 1}}{d_1} down the slope and then covers the distance \texttip{d_{\rm 2}}{d_2} along the horizontal terrain before stopping. Find the coefficient of kinetic friction \texttip{\mu _{\rm k}}{mu_k} between the sled and the ground, assuming that it is constant throughout the trip. PROBLEM­SOLVING STRATEGY 11.1  Solving energy problems MODEL:  Identify which objects are part of the system and which are in the environment. If possible, choose a system without friction or other dissipative forces. Some problems may need to be subdivided into two or more parts. VISUALIZE: Draw a before­and­after pictorial representation and an energy bar chart. A free­body diagram may be helpful if you're going to calculate work, although often the forces are simple enough to be shown on the pictorial representation. SOLVE:  If the system is both isolated and nondissipative, then the mechanical energy is conserved: K_{\rm f \hspace{1 pt}}+U_{\rm f \hspace{1 pt}}=K_{\rm i}+U_{\rm i}. If there are external or dissipative forces, calculate \texttip{W_{\rm ext}}{W_ext} and \texttip{\Delta E_{\rm th}} {DeltaE_th}. Then, use the more general energy equation: K_{\rm f \hspace{1 pt}}+U_{\rm f \hspace{1 pt}}+\Delta E_{\rm th}=K_{\rm i}+U_{\rm i}+W_{\rm ext}. Kinematics and/or other conservation laws may be needed for some problems. ASSESS:  Check that your result has the correct units, is reasonable, and answers the question. Model The problem involves friction. Therefore, all the objects involved in the dissipative interaction caused by friction should be included in the system. This means that for this problem, the system is composed of both the sled and the surface of the ground. Visualize Part A In addition to a before­and­after pictorial representation, in energy problems it is often useful to draw energy bar charts, as the ones shown below. Taking the initial state of the system to be the moment when the sled is released from rest and the final state to be the moment when the sled comes to a stop, let \texttip{K_{\rm i}}{K_i}, \texttip{U_{\rm i}}{U_i}, \texttip{K_{\rm f \hspace{1 pt}}}{K_f}, and \texttip{U_{\rm f \hspace{1 pt}}}{U_f} be the sled's initial and final kinetic and gravitational energies, respectively; let \texttip{W_{\rm ext}}{W_ext} be the work done on the system by external forces, and \texttip{\Delta E_{\rm th}}{DeltaE_th} be the increase in thermal energy of the system. Take the gravitational energy of the sled at the bottom of the slope to be zero. Which of the following energy bar charts correctly describes the energy transformation occurring in this problem? Hint 1. External forces and isolated systems Because no work is done by external forces, the system is isolated and W_{\rm ext}=0 at any time. ANSWER: 15/29 4/20/2016 Ch 11 HW 16/29 4/20/2016 Ch 11 HW Correct Because no work is done by external forces, the system is isolated and W_{\rm ext}=0 at any time. Since the sled starts from rest and eventually comes to a stop, the entire initial energy of the system, which is in the form of the sled's initial gravitational energy, \texttip{U_{\rm i}}{U_i}, must be transformed into thermal energy. More precisely, as the sled moves down the slope, its gravitational energy is transformed partially into thermal energy and partially into kinetic energy. As the sled reaches the end of the slope and starts to slow down, the system has no more gravitational energy. At this point, its kinetic energy is transformed entirely into thermal energy. This energy transformation is summarized in the following energy bar charts: A complete pictorial representation of this problem should include a before­and­after pictorial representation like this one: Solve Part B Find the coefficient of kinetic friction \texttip{\mu _{\rm k}}{mu_k}. Express your answer in terms of some or all of the variables \texttip{d_{\rm 1}}{d_1}, \texttip{d_{\rm 2}} {d_2}, and \texttip{\theta }{theta}. 17/29 4/20/2016 Ch 11 HW Hint 1. How to approach the problem Because no work is done by external forces, the system is isolated and W_{\rm ext}=0 at any time. Therefore, you can write the conservation of energy equation for the entire motion of the sled. Take the initial state to be the moment when the sled is released from rest at the top of the slope, and the final state the moment when the sled comes to a stop after traveling the given distance on the horizontal terrain. Be sure to calculate the increase in thermal energy of the system, \texttip{\Delta E_{\rm th}}{DeltaE_th}, correctly: You should calculate the increase in thermal energy as the sled slides down the slope, and then the increase in thermal energy as the sled travels horizontally. Note that, although the coefficient of friction is constant throughout the motion, the actual friction force changes as the sled moves from the slope onto the horizontal terrain. Hint 2. How to treat the unknown mass of the sled To write the equations for energy conservation, you will need to introduce a variable \texttip{m}{m} representing the mass of the sled. However, because the mass was not given in the problem statement, you should anticipate that \texttip{m}{m} will not be a part of the final answer. Hint 3. Calculate the increase in the thermal energy for the entire trip Find \texttip{\Delta E_{\rm th}}{DeltaE_th}, the increase in the thermal energy of the system during the entire motion. Express your answer in terms of some or all of the variables \texttip{d_{\rm 1}}{d_1}, \texttip{d_{\rm 2}}{d_2}, \texttip{\mu _{\rm k}}{mu_k}, and \texttip{\theta }{theta}. If needed, use \texttip{m}{m} for the mass of the sled and \texttip{g}{g} for the acceleration due to gravity. Hint 1. The force of friction and the increase in thermal energy Recall that the increase in thermal energy of the system due to the dissipative force of friction is \Delta E_{\rm th}=f_{\rm k}\Delta r, where \texttip{f_{\rm k}}{f_k} is the magnitude of the force of friction and \texttip{\Delta r}{Deltar} is the distance traveled by the object involved in the dissipative interaction. Hint 2. Find the force of friction for the motion down the slope Find the magnitude of the force of friction \texttip{(f_{\rm k})_{\rm slope}}{(f_k)_slope} between the sled and the surface of the slope as the sled moves down the slope. Express your answer in terms of some or all of the variables \texttip{d_{\rm 1}}{d_1}, \texttip{d_{\rm 2}}{d_2}, \texttip{\mu _{\rm k}}{mu_k}, and \texttip{\theta }{theta}. If needed, use \texttip{m}{m} for the mass of the sled and \texttip{g}{g} for the acceleration due to gravity. ANSWER: \texttip{(f_{\rm k})_{\rm slope}}{(f_k)_slope} =  {\mu}_{k} m g {\cos}\left({\theta}\right) Hint 3. Find the force of friction for the horizontal motion Find the magnitude of the force of friction \texttip{(f_{\rm k})_{\rm hor}}{(f_k)_hor} between the sled and the surface of the slope as the sled moves horizontally. Express your answer in terms of some or all of the variables \texttip{d_{\rm 1}}{d_1}, \texttip{d_{\rm 2}}{d_2}, \texttip{\mu _{\rm k}}{mu_k}, and \texttip{\theta }{theta}. If needed, use \texttip{m}{m} for the mass of the sled and \texttip{g}{g} for the acceleration due to gravity. 18/29 4/20/2016 Ch 11 HW ANSWER: \texttip{(f_{\rm k})_{\rm hor}}{(f_k)_hor} =  {\mu}_{k} m g ANSWER: \texttip{\Delta E_{\rm th}}{Delta E_th} =  {\mu}_{k} m g \left(d_{1} {\cos}\left({\theta}\right)+d_{2}\right) Hint 4. Find the initial and final gravitational energies Find the potential energy \texttip{U_{\rm i}}{U_i} of the sled at the very first moment of motion, and then the potential energy \texttip{U_{\rm f \hspace{1 pt}}}{U_f} of the sled the very last moment of motion. Take the gravitational potential energy of the sled to be zero at the bottom of the slope. Express your answer in terms of some or all of the variables \texttip{d_{\rm 1}}{d_1}, \texttip{d_{\rm 2}}{d_2}, \texttip{\mu _{\rm k}}{mu_k}, and \texttip{\theta }{theta}. If needed, use \texttip{m}{m} for the mass of the sled and \texttip{g}{g} for the acceleration due to gravity. ANSWER: \texttip{U_{\rm i}}{U_i}, \texttip{U_{\rm f \hspace{1 pt}}}{U_f} =  m g d_{1} {\sin}\left({\theta}\right),0 Hint 5. Find the initial and final kinetic energies Find the kinetic energy \texttip{K_{\rm i}}{K_i} of the sled at the very first moment of motion, and then the kinetic energy \texttip{K_{\rm f \hspace{1 pt}}}{K_f} of the sled the very last moment of motion. Express your answer in terms of some or all of the variables \texttip{d_{\rm 1}}{d_1}, \texttip{d_{\rm 2}}{d_2}, \texttip{\mu _{\rm k}}{mu_k}, and \texttip{\theta }{theta}. If needed, use \texttip{m}{m} for the mass of the sled and \texttip{g}{g} for the acceleration due to gravity. ANSWER: \texttip{K_{\rm i}}{K_i}, \texttip{K_{\rm f \hspace{1 pt}}}{K_f} =  0,0 ANSWER: \texttip{\mu _{\rm k}}{mu_k} =  \large{\frac{d_{1} {\sin}{\theta}}{d_{2}+{\cos}{\theta} d_{1}}} Correct As expected, the answer does not depend on the mass of the sled. Assess Part C 19/29 4/20/2016 Ch 11 HW To assess whether your calculations are reasonable, we'll analyze a similar situation to the one described in the problem introduction. Suppose the same sled is released from the same height on the same slope. This time, however, assume that the coefficient of kinetic friction between the ground and the sled is a known quantity, \texttip{\mu }{mu}, and, as before, constant throughout the trip. After the sled is released, it slides the same distance \texttip{d_{\rm 1}}{d_1} down the slope and then moves a certain (unknown) distance along the horizontal terrain before stopping. Find the distance \texttip{d}{d} traveled by the sled from the end of the slope until it comes to a stop. Express your answer in terms of the variables \texttip{d_{\rm 1}}{d_1}, \texttip{\mu }{mu}, and \texttip{\theta }{theta}. Hint 1. How to approach the problem In principle, you could repeat the same calculations you did in the previous part, using \texttip{d}{d} instead of \texttip{d_{\rm 2}}{d_2} and \texttip{\mu }{mu} instead of \texttip{\mu _{\rm k}}{mu_k}. You would then solve for \texttip{d}{d} instead of \texttip{\mu }{mu}. In practice, however, you do not need to write down the conservation of energy equation again; instead, you can directly use your expression for \texttip{\mu _{\rm k}}{mu_k} from Part B. Simply rewrite it, using \texttip{d}{d} instead of \texttip{d_{\rm 2}}{d_2} and \texttip{\mu }{mu} instead of \texttip{\mu _{\rm k}}{mu_k}, and then solve for \texttip{d}{d}. ANSWER: \texttip{d}{d} =  \large{\frac{d_{1} {\sin}{\theta}­{\mu}d_{1} {\cos}{\theta}}{\mu}} Correct If you have not yet done so, simplify your expression for \texttip{d}{d} until you get the following equation: \large{d=\frac{d_1\sin\theta}{\mu}­d_1\cos\theta}. This result tells you that if the coefficient of kinetic friction \texttip{\mu }{mu} increases, the ratio \large{\frac{d_1\sin\theta}{\mu}} decreases, and so does the distance \texttip{d}{d}. This is what you should expect. If friction increases, more mechanical energy will be transformed into thermal energy of the system and the sled will eventually run out of energy sooner. In other words, the sled will come to a stop sooner after traveling a shorter distance. Your calculations do make sense! Problem 11.29 Part A How much work does an elevator motor do to lift a 2000 {\rm kg} elevator a height of 110 {\rm m} ? Express your answer with the appropriate units. ANSWER: W_{{\rm ext}} =  2.16×10  {\rm J} Correct 20/29 4/20/2016 Ch 11 HW Part B How much power must the motor supply to do this in 57 {\rm s} at constant speed? Express your answer with the appropriate units. ANSWER: P =  3.78×10  {\rm W} Correct Potential Energy Graphs and Motion Learning Goal: To be able to interpret potential energy diagrams and predict the corresponding motion of a particle. Potential energy diagrams for a particle are useful in predicting the motion of that particle. These diagrams allow one to determine the direction of the force acting on the particle at any point, the points of stable and unstable equilibrium, the particle's kinetic energy, etc. Consider the potential energy diagram shown. The curve represents the value of potential energy \texttip{U}{U} as a function of the particle's coordinate \texttip{x}{x}. The horizontal line above the curve represents the constant value of the total energy of the particle \texttip{E}{E}. The total energy \texttip{E}{E} is the sum of kinetic ( \texttip{K}{K}) and potential ( \texttip{U}{U}) energies of the particle. The key idea in interpreting the graph can be expressed in the equation \large{F_x(x)=­\frac{dU(x)}{dx},} where F_x(x) is the x component of the net force as function of the particle's coordinate \texttip{x}{x}. Note the negative sign: It means that the x component of the net force is negative when the derivative is positive and vice versa. For instance, if the particle is moving to the right, and its potential energy is increasing, the net force would be pulling the particle to the left. If you are still having trouble visualizing this, consider the following: If a massive particle is increasing its gravitational potential energy (that is, moving upward), the force of gravity is pulling in the opposite direction (that is, downward). If the x component of the net force is zero, the particle is said to be in equilibrium. There are two kinds of equilibrium: Stable equilibrium means that small deviations from the equilibrium point create a net force that accelerates the particle back toward the equilibrium point (think of a ball rolling between two hills). Unstable equilibrium means that small deviations from the equilibrium point create a net force that accelerates the particle further away from the equilibrium point (think of a ball on top of a hill). In answering the following questions, we will assume that there is a single varying force \texttip{F}{F} acting on the 21/29 4/20/2016 Ch 11 HW particle along the x axis. Therefore, we will use the term force instead of the cumbersome x component of the net force. Part A The force acting on the particle at point A is __________. Hint 1. Sign of the derivative If a function increases (as \texttip{x}{x} increases) in a certain region, then the derivative of the function in that region is positive. Hint 2. Sign of the component If \texttip{x}{x} increases to the right, as in the graph shown, then a (one­dimensional) vector with a positive x component points to the right, and vice versa. ANSWER: directed to the right directed to the left equal to zero Correct Consider the graph in the region of point A. If the particle is moving to the right, it would be "climbing the hill," and the force would "pull it down," that is, pull the particle back to the left. Another, more abstract way of thinking about this is to say that the slope of the graph at point A is positive; therefore, the direction of \texttip{\vec{F}}{F_vec} is negative. Part B The force acting on the particle at point C is __________. Hint 1. Sign of the derivative If a function increases (as \texttip{x}{x} increases) in a certain region, then the derivative of the function in that region is positive, and vice versa. Hint 2. Sign of the component If \texttip{x}{x} increases to the right, as in the graph shown, then a (one­dimensional) vector with a positive x component points to the right, and vice versa. ANSWER: 22/29 4/20/2016 Ch 11 HW directed to the right directed to the left equal to zero Correct Part C The force acting on the particle at point B is __________. Hint 1. Derivative of a function at a local maximum At a local maximum, the derivative of a function is equal to zero. ANSWER: directed to the right directed to the left equal to zero Correct The slope of the graph is zero; therefore, the derivative dU/dx=0, and |\vec{F}|=0. Part D The acceleration of the particle at point B is __________. Hint 1. Relation between acceleration and force The relation between acceleration and force is given by Newton's 2nd law, F= ma. ANSWER: directed to the right directed to the left equal to zero 23/29 4/20/2016 Ch 11 HW Correct If the net force is zero, so is the acceleration. The particle is said to be in a state of equilibrium. Part E If the particle is located slightly to the left of point B, its acceleration is __________. Hint 1. The force on such a particle To the left of B, \texttip{U\left(x\right)}{U(x)} is an increasing function and so its derivative is positive. This implies that the x component of the force on a particle at this location is negative, or that the force is directed to the left, just like at A. What can you say now about the acceleration? ANSWER: directed to the right directed to the left equal to zero Correct Part F If the particle is located slightly to the right of point B, its acceleration is __________. Hint 1. The force on such a particle To the right of B, \texttip{U\left(x\right)}{U(x)} is a decreasing function and so its derivative is negative. This implies that the x component of the force on a particle at this location is positive, or that the force is directed to the right, just like at C. What can you now say about the acceleration? ANSWER: directed to the right directed to the left equal to zero Correct As you can see, small deviations from equilibrium at point B cause a force that accelerates the particle further away; hence the particle is in unstable equilibrium. 24/29 4/20/2016 Ch 11 HW Part G Name all labeled points on the graph corresponding to unstable equilibrium. List your choices alphabetically, with no commas or spaces; for instance, if you choose points B, D, and E, type your answer as BDE. Hint 1. Definition of unstable equilibrium Unstable equilibrium means that small deviations from the equilibrium point create a net force that accelerates the particle further away from the equilibrium point (think of a ball on top of a hill). ANSWER: BF Correct Part H Name all labeled points on the graph corresponding to stable equilibrium. List your choices alphabetically, with no commas or spaces; for instance, if you choose points B, D, and E, type your answer as BDE. Hint 1. Definition of stable equilibrium Stable equilibrium means that small deviations from the equilibrium point create a net force that accelerates the particle back toward the equilibrium point. (Think of a ball rolling between two hills.) ANSWER: DH Correct Part I Name all labeled points on the graph where the acceleration of the particle is zero. List your choices alphabetically, with no commas or spaces; for instance, if you choose points B, D, and E, type your answer as BDE. Hint 1. Relation between acceleration and force The relation between acceleration and force is given by Newton's 2nd law, F= ma. 25/29 4/20/2016 Ch 11 HW ANSWER: BDFH Correct Your answer, of course, includes the locations of both stable and unstable equilibrium. Part J Name all labeled points such that when a particle is released from rest there, it would accelerate to the left. List your choices alphabetically, with no commas or spaces; for instance, if you choose points B, D, and E, type your answer as BDE. Hint 1. Determine the sign of the x component of force If the acceleration is to the left, so is the force. This means that the x component of the force is __________. ANSWER: positive negative Hint 2. What is the behavior of \texttip{U\left(x\right)}{U(x)}? If the x component of the force at a point is negative, then the derivative of \texttip{U\left(x\right)}{U(x)} at that point is positive. This means that in the region around the point \texttip{U\left(x\right)}{U(x)} is __________. ANSWER: increasing decreasing ANSWER: AE Correct Part K Consider points A, E, and G. Of these three points, which one corresponds to the greatest magnitude of acceleration of the particle? 26/29 4/20/2016 Ch 11 HW Hint 1. Acceleration and force The greatest acceleration corresponds to the greatest magnitude of the net force, represented on the graph by the magnitude of the slope. ANSWER: A E G Correct Kinetic energy If the total energy \texttip{E}{E} of the particle is known, one can also use the graph of \texttip{U\left(x\right)}{U(x)} to draw conclusions about the kinetic energy of the particle since K=E­U. As a reminder, on this graph, the total energy \texttip{E}{E} is shown by the horizontal line. Part L What point on the graph corresponds to the maximum kinetic energy of the moving particle? Hint 1. \texttip{K}{K}, \texttip{U}{U}, and \texttip{E}{E} Since the total energy does not change, the maximum kinetic energy corresponds to the minimum potential energy. ANSWER: D Correct It makes sense that the kinetic energy of the particle is maximum at one of the (force) equilibrium points. For example, think of a pendulum (which has only one force equilibrium point­­at the very bottom). Part M At what point on the graph does the particle have the lowest speed? ANSWER: 27/29 4/20/2016 Ch 11 HW B Correct As you can see, many different conclusions can be made about the particle's motion merely by looking at the graph. It is helpful to understand the character of motion qualitatively before you attempt quantitative problems. This problem should prove useful in improving such an understanding. Problem 11.67 A Porsche 944 Turbo has a rated engine power of 217 {\rm hp}. 30% of the power is lost in the drive train, and 70% reaches the wheels. The total mass of the car and driver is 1460 {\rm kg} , and two­thirds of the weight is over the drive wheels. Part A What is the maximum acceleration of the Porsche on a concrete surface where \mu_{\rm s}=1.00? Express your answer with the appropriate units. Hint 1. Hint What force pushes the car forward? ANSWER: a_{\rm max} =  6.53 \large{{\rm \frac{m}{s^{2}}}} Correct Part B If the Porsche accelerates at a_{\rm max}, what is its speed when it reaches maximum power output? Express your answer with the appropriate units. ANSWER: v =  11.9 \large{{\rm \frac{m}{s}}} Correct Part C How long does it take the Porsche to reach the maximum power output? 28/29 4/20/2016 Ch 11 HW Express your answer with the appropriate units. ANSWER: t =  1.82 {\rm s} Correct Score Summary: Your score on this assignment is 99.8%. You received 89.8 out of a possible total of 90 points. 29/29 4/20/2016 Ch 09 HW Ch 09 HW Due: 11:59pm on Monday, March 21, 2016 To understand how points are awarded, read the Grading Policy for this assignment. Impulse on a Baseball Learning Goal: To understand the relationship between force, impulse, and momentum. The effect of a net forceΣF  acting on an object is related both to the force and to the total time the force acts on the object. The physical quantity impulse  J  is a measure of both these effects. For a constant net force, the impulse is given by J = FΔt ⃗  . ⃗  The impulse is a vector pointing in the same direction as the force vector. The units of  J  are N⋅s  or kg ⋅m/s . Recall that when a net force acts on an object, the object will accelerate, causing a change in its velocity. Hence the object's momentum ( p = mv ) will also change. The impulse­momentum theorem describes the effect that an impulse has on an object's motion: Δp = J = FΔt ⃗  . So the change in momentum of an object equals the net impulse, that is, the net force multiplied by the time over which the force acts. A given change in momentum can result from a large force over a short time or a smaller force over a longer time. In Parts A, B, C consider the following situation. In a baseball game the batter swings and gets a good solid hit. His swing applies a force of 12,000  N  to the ball for a time o0.70 ×10 −3 s. Part A Assuming that this force is constant, what is the magnitude  J of the impulse on the ball? Enter your answer numerically in newton seconds using two significant figures. ANSWER: J =  8.4    N⋅s    Correct We often visualize the impulse by drawing a graph showing the force versus time. For a constant net force such as that used in the previous part, the graph showing the magnitude of the force versus time will look like the one shown in . 1/21 4/20/2016 Ch 09 HW Part B The magnitude of the net force versus time graph has a rectangular shape. Often in physics geometric properties of graphs have physical meaning. ANSWER: length height For this graph, the    of the rectangle corresponds to the impulse. area slope Correct The assumption of a constant net force is idealized to make the problem easier to solve. A real force, especially in a case like the one presented in Parts A and B, where a large force is applied for a short time, is not likely to be constant. A more realistic graph showing the magnitude of the force that the swinging bat applies to the baseball will show the force building up to a maximum value as the bat comes into full contact with the ball. Then as the ball loses contact with the bat, the graph will show the magnitude of the force decaying to zero. It will look like the graph in . 2/21 4/20/2016 Ch 09 HW Part C If both the graph representing the constant net force and the graph representing the variable net force represent the same impulse acting on the baseball, which geometric properties must the two graphs have in common? ANSWER: maximum force area slope 3/21 4/20/2016 Ch 09 HW Correct When the net force varies over time, as in the case of the real net force acting on the baseball, you can simplify ⃗  the problem by finding the average net force  F avg acting on the baseball during time  Δt . This average net force is treated as a constant force that acts on the ball for time Δt . The impulse on the ball can then be found ⃗  ⃗  as J = F avg Δt . Graphically, this method states that the impulse of the baseball can be represented by either the area under the net force versus time curve or the area under the average net force versus time curve. These areas are represented in the figure as the areas shaded in red and blue respectively. The impulse of an object is also related to its change in momentum. Once the impulse is known, it can be used to find the change in momentum, or if either the initial or final momentum is known, the other momentum can be found. Keep in ⃗  ⃗  ⃗  ⃗  mind that J = Δp = m(v −v ) f i . Because both impulse and momentum are vectors, it is essential to account for the direction of each vector, even in a one­dimensional problem. Part D Assume that a pitcher throws a baseball so that it travels in a straight line parallel to the ground. The batter then hits the ball so it goes directly back to the pitcher along the same straight line. Define the direction the pitcher originally throws the ball as the +x direction. ANSWER: positive The impulse on the ball caused by the bat will be in the     x direction. negative Correct Part E to the ground with a speed of 32  m/s 4/21 4/20/2016 Ch 09 HW Now assume that the pitcher in Part D throws a 0.1kg­ baseball parallel to the ground with a speed om/s2  in the +x direction. The batter then hits the ball so it goes directly back to the pitcher along the same straight line. What is the ball's velocity just after leaving the bat if the bat applies an−8.4 N⋅s of to the baseball? Enter your answer numerically in meters per second using two significant figures. ANSWER: v =  ­26  m/s    Correct The negative sign in the answer indicates that after the bat hits the ball, the ball travels in the opposite direction to that defined to be positive. Problem 9.3 Part A What impulse does the force shown in the figure exert on a 250 g particle? Express your answer using one significant figure. ANSWER: J =  4  Ns   Correct Problem 9.7 The figure is an incomplete momentum bar chart for a collision that lamss  . 5/21 4/20/2016 Ch 09 HW Part A What is the magnitude of the average collision force exerted on the object? Express your answer to two significant figures and include the appropriate units. ANSWER: F  =  530N to the left Correct Problem 9.9 A 3.0kg object is moving to the right with a speed m/s0 when it experiences the force shown in the figure. Part A 6/21 4/20/2016 Ch 09 HW What is the object's speed after the force ends? Express your answer to two significant figures and include the appropriate units. ANSWER: 0.57 m v  =  s Correct Part B What is the object's direction after the force ends? ANSWER: to the right to the left Correct ± PSS 9.1 Conservation of Momentum Learning Goal: To practice Problem­Solving Strategy 9.1 for conservation of momentum problems. An 80­kg  quarterback jumps straight up in the air right before throwing a 0.43kg  football horizontally at 1m/s  . How fast will he be moving backward just after releasing the ball? PROBLEM­SOLVING STRATEGY 9.1  Conservation of momentum MODEL:  Clearly define the system. If possible, choose a system that is isolated F net= 0 ) or within which the interactions are sufficiently short and intense that you can ignore external forces for the duration of the interaction (the impulse approximation). Momentum is conserved. If it is not possible to choose an isolated system, try to divide the problem into parts such that momentum is conserved during one segment of the motion. Other segments of the motion can be analyzed using Newton's laws or, as you will learn later, conservation of energy. VISUALIZE: Draw a before­and­after pictorial representation. Define symbols that will be used in the problem, list known values, and identify what you are trying to find. SOLVE:  The mathematical representation is based on the law of conservation of momentum:  P = P ⃗. In component f i form, this is (p fx+1p ) +(fx) 2⋯ = (pfx 3(p ) +(p ) +⋯ix 1 ix 2 ix 3 (pfy 1(p ) +fy )2+⋯ = (fy)3+(p ) +(p ) +iy 1 iy 2 iy 3 7/21 4/20/2016


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