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by: devin mills

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# math 111 inverse function MATH 111A - 01

devin mills
UCSC

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inverse function
COURSE
Algebra
PROF.
Mason,G.
TYPE
Class Notes
PAGES
11
WORDS
KARMA
25 ?

## Popular in Department

This 11 page Class Notes was uploaded by devin mills on Saturday June 4, 2016. The Class Notes belongs to MATH 111A - 01 at University of California - Santa Cruz taught by Mason,G. in Spring 2016. Since its upload, it has received 22 views.

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## Reviews for math 111 inverse function

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Date Created: 06/04/16
Review : Inverse Functions In the last example from the previous section we looked at the two  functions   and   and saw that   and as noted in that section this means that there is a nice relationship between these two  functions.  Let’s see just what that relationship is.  Consider the following evaluations.       In the first case we plugged   into   and got a value of ­5.   We then turned around and plugged   into   and got a value  of ­1, the number that we started off with.    In the second case we did something similar.  Here we plugged   into   and got a value of  , we turned around and plugged this into    and got a value of 2, which is again the number that we started with.   Note that we really are doing some function composition here.  The first case is really, and the second case is really,     Note as well that these both agree with the formula for the compositions that we found in the  previous section.  We get back out of the function evaluation the number that we originally  plugged into the composition.   So, just what is going on here?  In some way we can think of these two functions as undoing  what the other did to a number.  In the first case we plugged   into   and then plugged the result from this function evaluation back into    and in some way   undid what   had done to   and gave us back the original x that we started with.   Function pairs that exhibit this behavior are called inverse functions.  Before formally defining  inverse functions and the notation that we’re going to use for them we need to get a definition  out of the way.      A function is called one­to­one if no two values of x produce the same y.  Mathematically this is  the same as saying, So, a function is one­to­one if whenever we plug different values into the function we get  different function values.   Sometimes it is easier to understand this definition if we see a function that isn’t one­to­one.   Let’s take a look at a function that isn’t one­to­one.  The function   is not one­to­one because both   and  .  In other words there are two different values of x that produce the same  value of y.  Note that we can turn   into a one­to­one function if we restrict ourselves to  .  This can sometimes be done with  functions.   Showing that a function is one­to­one is often tedious and/or difficult.  For the most part we are  going to assume that the functions that we’re going to be dealing with in this course are either  one­to­one or we have restricted the domain of the function to get it to be a one­to­one function.   Now, let’s formally define just what inverse functions are.  Given two one­to­one  functions   and   if   then we say that   and   are inverses of each other.  More  specifically we will say that   is the inverse of   and denote it  by   Likewise we could also say that   is the inverse of   and denote it by     The notation that we use really depends upon the problem.  In most cases either is acceptable.   For the two functions that we started off this section with we could write either of the following  two sets of notation.     Now, be careful with the notation for inverses.  The “­1” is NOT an exponent despite the fact  that is sure does look like one!  When dealing with inverse functions we’ve got to remember that   This is one of the more common mistakes that students make when first studying inverse  functions.   The process for finding the inverse of a function is a fairly simple one although there are a  couple of steps that can on occasion be somewhat messy.  Here is the process   Finding the Inverse of a Function Given the function   we want to find the inverse function,  . 1. First, replace   with y.  This is done to make the rest of the process  easier. 2. Replace every x with a y and replace every y with an x. 3. Solve the equation from Step 2 for y.  This is the step where mistakes are most often  made so be careful with this step. 4. Replace y with  .  In other words, we’ve managed to find the  inverse at this point! 5. Verify your work by checking that   and   are both true.  This work can sometimes be messy making it easy to make mistakes so again be  careful.   That’s the process.  Most of the steps are not all that bad but as mentioned in the process there  are a couple of steps that we really need to be careful with since it is easy to make mistakes in  those steps.   In the verification step we technically really do need to check that both   and   ar e true.  For all the functions that we are going to be looking at in this course if one is true then  the other will also be true.  However, there are functions (they are beyond the scope of this  course however) for which it is possible for only one of these to be true.  This is brought up  because in all the problems here we will be just checking one of them.  We just need to always  remember that technically we should check both.   Let’s work some examples.   Example 1  Given   find  .   Solution Now, we already know what the inverse to this function is as we’ve already done some work  with it.  However, it would be nice to actually start with this since we know what we should  get.  This will work as a nice verification of the process.   So, let’s get started.  We’ll first replace   with y.                                                                    Next, replace all x’s with y and all y’s with x.                                                                    Now, solve for y.                                                                 Finally replace y with  .                                                                  Now, we need to verify the results.  We already took care of this in the previous section,  however, we really should follow the process so we’ll do that here.  It doesn’t matter which of  the two that we check we just need to check one of them.  This time we’ll check  that   is true.                                                      Example 2  Given   find  .   Solution The fact that we’re using   instead of   doesn’t change how  the process works.  Here are the first few steps.                                                                    Now, to solve for y we will need to first square both sides and then proceed as normal.                                                                This inverse is then,   Finally let’s verify and this time we’ll use the other one just so we can say that we’ve gotten  both down somewhere in an example.                                                        So, we did the work correctly and we do indeed have the inverse.   The next example can be a little messy so be careful with the work here.   Example 3  Given   find  . Solution The first couple of steps are pretty much the same as the previous examples so here they are,                                                                    Now, be careful with the solution step.  With this kind of problem it is very easy to make a  mistake here.                                                             So, if we’ve done all of our work correctly the inverse should be,                                                                Finally we’ll need to do the verification.  This is also a fairly messy process and it doesn’t  really matter which one we work with.                                                      Okay, this is a mess.  Let’s simplify things up a little bit by multiplying the numerator and  denominator by  .                                            Wow.  That was a lot of work, but it all worked out in the end.  We did all of our work  correctly and we do in fact have the inverse.   There is one final topic that we need to address quickly before we leave this section.  There is an  interesting relationship between the graph of a function and the graph of its inverse.   Here is the graph of the function and inverse from the first two examples.      In both cases we can see that the graph of the inverse is a reflection of the actual function about  the line  .  This will always be the case with the graphs of a function and its  inverse.

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