New User Special Price Expires in

Let's log you in.

Sign in with Facebook


Don't have a StudySoup account? Create one here!


Create a StudySoup account

Be part of our community, it's free to join!

Sign up with Facebook


Create your account
By creating an account you agree to StudySoup's terms and conditions and privacy policy

Already have a StudySoup account? Login here

Integration by parts

by: Alejandra D. Rocha

Integration by parts 2314

Marketplace > University of Texas at El Paso > Math > 2314 > Integration by parts
Alejandra D. Rocha
GPA 3.1
View Full Document for 0 Karma

View Full Document


Unlock These Notes for FREE

Enter your email below and we will instantly email you these Notes for Calculus 2

(Limited time offer)

Unlock Notes

Already have a StudySoup account? Login here

Unlock FREE Class Notes

Enter your email below to receive Calculus 2 notes

Everyone needs better class notes. Enter your email and we will send you notes for this class for free.

Unlock FREE notes

About this Document

These notes cover the first section of Calculus 2 which is integration by parts, it has examples to follow with easy and explained steps
Calculus 2
Class Notes
Math, calculus2, Integration, integrationbyparts




Popular in Calculus 2

Popular in Math

This 18 page Class Notes was uploaded by Alejandra D. Rocha on Tuesday June 7, 2016. The Class Notes belongs to 2314 at University of Texas at El Paso taught by in Summer 2016. Since its upload, it has received 6 views. For similar materials see Calculus 2 in Math at University of Texas at El Paso.


Reviews for Integration by parts


Report this Material


What is Karma?


Karma is the currency of StudySoup.

You can buy or earn more Karma at anytime and redeem it for class notes, study guides, flashcards, and more!

Date Created: 06/07/16
Calculus II Integration by Parts Let’s start off with this section with a couple of integrals that we should already be able to do to  get us started.  First let’s take a look at the following.     So, that was simple enough.  Now, let’s take a look at,     To do this integral we’ll use the following substitution.       Again, simple enough to do provided you remember how to do  substitutions .  By the way  make sure that you can do these kinds of substitutions quickly and easily.  From this point on we  are going to be doing these kinds of substitutions in our head.  If you have to stop and write these out with every problem you will find that it will take you significantly longer to do these  problems.   Now, let’s look at the integral that we really want to do.       If we just had an x by itself or   by itself we could do the integral easily enough.  But,  we don’t have them by themselves, they are instead multiplied together.   There is no substitution that we can use on this integral that will allow us to do the integral.  So,  at this point we don’t have the knowledge to do this integral.   To do this integral we will need to use integration by parts so let’s derive the integration by parts  formula.  We’ll start with the product rule.     Now, integrate both sides of this.     The left side is easy enough to integrate and we’ll split up the right side of the integral.   Note that technically we should have had a constant of integration show up on the left side after  doing the integration.  We can drop it at this point since other constants of integration will be  showing up down the road and they would just end up absorbing this one.  Finally, rewrite the formula as follows and we arrive at the integration by parts formula. This is not the easiest formula to use however.  So, let’s do a couple of substitutions. Both of these are just the standard Calc I substitutions that hopefully you are used to by now. Don’t get excited by the fact that we are using two substitutions here. They will work the same way. Using these substitutions gives us the formula that most people think of as the integration by parts formula.To use this formula we will need to identify u and dv, compute du and v and then use the formula. Note as well that computing v is very easy. All we need to do is integrate dv. So, let’s take a look at the integral above that we mentioned we wanted to do.   Example 1  Evaluate the following integral.                                                                   Solution So, on some level, the problem here is the x that is in front of the exponential.  If that wasn’t  there we could do the integral.  Notice as well that in doing integration by parts anything that  we choose for u will be differentiated.  So, it seems that choosing   will be a good  choice since upon differentiating the x will drop out.     Now that we’ve chosen u we know that dv will be everything else that remains.  So, here are  the choices for u and dv as well as du and v.                                          The integral is then,                                                      Once we have done the last integral in the problem we will add in the constant of integration to get our final answer.   Next, let’s take a look at integration by parts for definite integrals.  The integration by parts  formula for definite integrals is,   Integration by Parts, Definite Integrals                                                                          Note that the   in the first term is just the standard integral evaluation notation that  you should be familiar with at this point.  All we do is evaluate the term, uv in this case, at b then subtract off the evaluation of the term at a. At some level we don’t really need a formula here because we know that when doing definite  integrals all we need to do is do the indefinite integral and then do the evaluation.   Let’s take a quick look at a definite integral using integration by parts.   Example 2  Evaluate the following integral.                                                                  Solution This is the same integral that we looked at in the first example so we’ll use the same u and dv  to get,                                                  Since we need to be able to do the indefinite integral in order to do the definite integral and  doing the definite integral amounts to nothing more than evaluating the indefinite integral at a  couple of points we will concentrate on doing indefinite integrals in the rest of this section.  In  fact, throughout most of this chapter this will be the case.  We will be doing far more indefinite  integrals than definite integrals.   Let’s take a look at some more examples.   Example 3  Evaluate the following integral.                                                          Solution There are two ways to proceed with this example.  For many, the first thing that they try is  multiplying the cosine through the parenthesis, splitting up the integral and then doing  integration by parts on the first integral.     While that is a perfectly acceptable way of doing the problem it’s more work than we really  need to do.  Instead of splitting the integral up let’s instead use the following choices for u and  dv.                                            The integral is then,                             Notice that we pulled any constants out of the integral when we used the integration by parts  formula.  We will usually do this in order to simplify the integral a little.   Example 4  Evaluate the following integral.                                                             Solution For this example we’ll use the following choices for u and dv.                                          The integral is then,                                In this example, unlike the previous examples, the new integral will also require integration by parts.  For this second integral we will use the following choices.                                          So, the integral becomes,                Be careful with the coefficient on the integral for the second application of integration by  parts.  Since the integral is multiplied by   we need to make sure that the results of actually  doing the integral are also multiplied by  .  Forgetting to do this is one of the more common mistakes with integration by parts problems.   As this last example has shown us, we will sometimes need more than one application of  integration by parts to completely evaluate an integral.  This is something that will happen so  don’t get excited about it when it does.   In this next example we need to acknowledge an important point about integration techniques.   Some integrals can be done in using several different techniques.  That is the case with the  integral in the next example.   Example 5  Evaluate the following integral                                                                 (a) Using Integration by Parts.    (b) Using a standard Calculus I substitution. Solution (a) Evaluate using Integration by Parts. First notice that there are no trig functions or exponentials in this integral.  While a good many integration by parts integrals will involve trig functions and/or exponentials not all of them  will so don’t get too locked into the idea of expecting them to show up.   In this case we’ll use the following choices for u and dv.                                             The integral is then,                                         (b) Evaluate Using a standard Calculus I substitution.   Now let’s do the integral with a substitution.  We can use the following substitution.                               Notice that we’ll actually use the substitution twice, once for the quantity under the square root and once for the x in front of the square root.  The integral is then,                                             So, we used two different integration techniques in this example and we got two different  answers.  The obvious question then should be : Did we do something wrong?   Actually, we didn’t do anything wrong.  We need to remember the following fact from Calculus  I.       In other words, if two functions have the same derivative then they will differ by no more than a  constant.  So, how does this apply to the above problem?  First define the following,     Then we can compute   and   by integrating as follows,     We’ll use integration by parts for the first integral and the substitution for the second integral.   Then according to the fact   and   should differ by no more than a constant.  Let’s  verify this and see if this is the case. We can verify that they differ by no more than a constant if  we take a look at the difference of the two and do a little algebraic manipulation and  simplification.       So, in this case it turns out the two functions are exactly the same function since the difference is  zero.  Note that this won’t always happen.  Sometimes the difference will yield a nonzero  constant.  For an example of this check out the Constant of Integration section in my Calculus I  notes.   So just what have we learned?  First, there will, on occasion, be more than one method for  evaluating an integral.  Secondly, we saw that different methods will often lead to different  answers.  Last, even though the answers are different it can be shown, sometimes with a lot of  work, that they differ by no more than a constant.   When we are faced with an integral the first thing that we’ll need to decide is if there is more  than one way to do the integral.  If there is more than one way we’ll then need to determine  which method we should use.  The general rule of thumb that I use in my classes is that you  should use the method that you find easiest.  This may not be the method that others find easiest,  but that doesn’t make it the wrong method.   One of the more common mistakes with integration by parts is for people to get too locked into  perceived patterns.  For instance, all of the previous examples used the basic pattern of taking u  to be the polynomial that sat in front of another function and then letting dv be the other  function.  This will not always happen so we need to be careful and not get locked into any  patterns that we think we see.   Let’s take a look at some integrals that don’t fit into the above pattern.     Example 6  Evaluate the following integral.                                                                    Solution So, unlike any of the other integral we’ve done to this point there is only a single function in  the integral and no polynomial sitting in front of the logarithm.   The first choice of many people here is to try and fit this into the pattern from above and make  the following choices for u and dv.                                                 This leads to a real problem however since that means v must be,                                                                 In other words, we would need to know the answer ahead of time in order to actually do the  problem.  So, this choice simply won’t work.  Also notice that with this choice we’d get that  which also causes problems and is another reason why this choice will  not work.   Therefore, if the logarithm doesn’t belong in the dv it must belong instead in the u.  So, let’s  use the following choices instead                                                  The integral is then,                                                       Example 7  Evaluate the following integral.                                                               Solution So, if we again try to use the pattern from the first few examples for this integral our choices  for u and dv would probably be the following.                                            However, as with the previous example this won’t work since we can’t easily compute v.                                                                2 This is not an easy integral to do.  However, notice that if we had an x  in the integral along  with the root we could very easily do the integral with a substitution.  Also notice that we do  have a lot of x’s floating around in the original integral.  So instead of putting all the x’s  (outside of the root) in the u let’s split them up as follows.                                            We can now easily compute v and after using integration by parts we get,                                       So, in the previous two examples we saw cases that didn’t quite fit into any perceived pattern  that we might have gotten from the first couple of examples.  This is always something that we  need to be on the lookout for with integration by parts. Let’s take a look at another example that also illustrates another integration technique that  sometimes arises out of integration by parts problems.   Example 8  Evaluate the following integral.                                                                Solution Okay, to this point we’ve always picked u in such a way that upon differentiating it would  make that portion go away or at the very least put it the integral into a form that would make it  easier to deal with.  In this case no matter which part we make u it will never go away in the  differentiation process.   It doesn’t much matter which we choose to be u so we’ll choose in the following way.  Note  however that we could choose the other way as well and we’ll get the same result in the end.                                                  The integral is then,                                               So, it looks like we’ll do integration by parts again.  Here are our choices this time.                                                  The integral is now,                                       Now, at this point it looks like we’re just running in circles.  However, notice that we now  have the same integral on both sides and on the right side it’s got a minus sign in front of it.   This means that we can add the integral to both sides to get,                                                  All we need to do now is divide by 2 and we’re done.  The integral is,                                             Notice that after dividing by the two we add in the constant of integration at that point.   This idea of integrating until you get the same integral on both sides of the equal sign and then  simply solving for the integral is kind of nice to remember.  It doesn’t show up all that often, but  when it does it may be the only way to actually do the integral.   We’ve got one more example to do.  As we will see some problems could require us to do  integration by parts numerous times and there is a short hand method that will allow us to do  multiple applications of integration by parts quickly and easily.   Example 9  Evaluate the following integral.                                                                   Solution We start off by choosing u and dv as we always would.  However, instead of computing du  and v we put these into the following table.  We then differentiate down the column  corresponding to u until we hit zero.  In the column corresponding to dv we integrate once for  each entry in the first column.  There is also a third column which we will explain in a bit and  it always starts with a “+” and then alternates signs as shown.     Now, multiply along the diagonals shown in the table.  In front of each product put the sign in  the third column that corresponds to the “u” term for that product.  In this case this would give,           We’ve got the integral.  This is much easier than writing down all the various u’s and dv’s that  we’d have to do otherwise.  


Buy Material

Are you sure you want to buy this material for

0 Karma

Buy Material

BOOM! Enjoy Your Free Notes!

We've added these Notes to your profile, click here to view them now.


You're already Subscribed!

Looks like you've already subscribed to StudySoup, you won't need to purchase another subscription to get this material. To access this material simply click 'View Full Document'

Why people love StudySoup

Jim McGreen Ohio University

"Knowing I can count on the Elite Notetaker in my class allows me to focus on what the professor is saying instead of just scribbling notes the whole time and falling behind."

Amaris Trozzo George Washington University

"I made $350 in just two days after posting my first study guide."

Bentley McCaw University of Florida

"I was shooting for a perfect 4.0 GPA this semester. Having StudySoup as a study aid was critical to helping me achieve my goal...and I nailed it!"


"Their 'Elite Notetakers' are making over $1,200/month in sales by creating high quality content that helps their classmates in a time of need."

Become an Elite Notetaker and start selling your notes online!

Refund Policy


All subscriptions to StudySoup are paid in full at the time of subscribing. To change your credit card information or to cancel your subscription, go to "Edit Settings". All credit card information will be available there. If you should decide to cancel your subscription, it will continue to be valid until the next payment period, as all payments for the current period were made in advance. For special circumstances, please email


StudySoup has more than 1 million course-specific study resources to help students study smarter. If you’re having trouble finding what you’re looking for, our customer support team can help you find what you need! Feel free to contact them here:

Recurring Subscriptions: If you have canceled your recurring subscription on the day of renewal and have not downloaded any documents, you may request a refund by submitting an email to

Satisfaction Guarantee: If you’re not satisfied with your subscription, you can contact us for further help. Contact must be made within 3 business days of your subscription purchase and your refund request will be subject for review.

Please Note: Refunds can never be provided more than 30 days after the initial purchase date regardless of your activity on the site.