×

### Let's log you in.

or

Don't have a StudySoup account? Create one here!

×

or

by: Juan Ricker

24

0

8

# Augmented Matrices notes MATH-UA 121

Marketplace > New York University > MATH-UA 121 > Augmented Matrices notes
Juan Ricker
NYU

Get a free preview of these Notes, just enter your email below.

×
Unlock Preview

Augmented Matrices
COURSE
Calculus I
PROF.
Vindya Vasanth Bhat
TYPE
Class Notes
PAGES
8
WORDS
KARMA
25 ?

## Popular in Department

This 8 page Class Notes was uploaded by Juan Ricker on Wednesday June 15, 2016. The Class Notes belongs to MATH-UA 121 at New York University taught by Vindya Vasanth Bhat in Summer 2016. Since its upload, it has received 24 views.

×

## Reviews for Augmented Matrices notes

×

×

### What is Karma?

#### You can buy or earn more Karma at anytime and redeem it for class notes, study guides, flashcards, and more!

Date Created: 06/15/16
An augmented matrix for a system of equations is a matrix of numbers in which each row  represents the constants from one equation (both the coefficients and the constant on the other  side of the equal sign) and each column represents all the coefficients for a single variable.   Let’s take a look at an example.  Here is the system of equations that we looked at in the  previous section.     Here is the augmented matrix for this system.       The first row consists of all the constants from the first equation with the coefficient of the x in  the first column, the coefficient of the y in the second column, the coefficient of the z in the third  column and the constant in the final column.  The second row is the constants from the second  equation with the same placement and likewise for the third row.  The dashed line represents  where the equal sign was in the original system of equations and is not always included.  This is  mostly dependent on the instructor and/or textbook being used.   Next we need to discuss elementary row operations.  There are three of them and we will give  both the notation used for each one as well as an example using the augmented matrix given  above.   1. Interchange Two Rows. With this operation we will interchange all the entries in  row i and row j.  The notation we’ll use here is  .   Here is an  example.   So, we do exactly what the operation says.  Every entry in the third row moves up to the  first row and every entry in the first row moves down to the third row.  Make sure that  you move all the entries.  One of the more common mistakes is to forget to move one or  more entries.   2. Multiply a Row by a Constant.  In this operation we will multiply row i by a  constant c and the notation will use here is  .  Note that we can also divide a row by a constant using the notation  .  Here is an example.   So, when we say we will multiply a row by a constant this really means that we will  multiply every entry in that row by the constant.  Watch out for signs in this operation  and make sure that you multiply every entry.   3. Add a Multiple of a Row to Another Row.  In this operation we will replace row i with  the sum of row i and a constant, c, times row j.  The notation we’ll use for this operation  is  .  To perform this operation we will take  an entry from row i and add to it c times the corresponding entry from row j and put the  result back into row i.  Here is an example of this operation.               Let’s go through the individual computation to make sure you followed this.   Be very careful with signs here.  We will be doing these computations in our head for the  most part and it is very easy to get signs mixed up and add one in that doesn’t belong or  lose one that should be there.   It is very important that you can do this operation as this operation is the one that we will  be using more than the other two combined.   Okay, so how do we use augmented matrices and row operations to solve systems?  Let’s start  with a system of two equations and two unknowns.     We first write down the augmented matrix for this system,   and use elementary row operations to convert it into the following augmented matrix.   Once we have the augmented matrix in this form we are done.  The solution to the system will  be   and  .   This method is called Gauss­Jordan Elimination.   Example 1  Solve each of the following systems of equations. (a)     [Solution]   (b)    [Solution]   (c)    [Solution] Solution (a)  The first step here is to write down the augmented matrix for this system.                                                                To convert it into the final form we will start in the upper left corner and the work in a counter­ clockwise direction until the first two columns appear as they should be.    So, the first step is to make the red three in the augmented matrix above into a 1.  We can use  any of the row operations that we’d like to.  We should always try to minimize the work as  much as possible however.   So, since there is a one in the first column already it just isn’t in the correct row let’s use the  first row operation and interchange the two rows.                                                The next step is to get a zero below the 1 that we just got in the upper left hand corner.  This  means that we need to change the red three into a zero.  This will almost always require us to  use third row operation.  If we add ­3 times row 1 onto row 2 we can convert that 3 into a 0.   Here is that operation.                                           Next we need to get a 1 into the lower right corner of the first two columns.  This means  changing the red ­11 into a 1.  This is usually accomplished with the second row operation.  If  we divide the second row by ­11 we will get the 1 in that spot that we need.                                                  Okay, we’re almost done.  The final step is to turn the red three into a zero.  Again, this almost always requires the third row operation.  Here is the operation for this final step.                                              We have the augmented matrix in the required form and so we’re done.  The solution to this  system is   and  . [Return to Problems]   (b)  In this part we won’t put in as much explanation for each step.  We will mark the next number  that we need to change in red as we did in the previous part.   We’ll first write down the augmented matrix and then get started with the row operations.                      Before proceeding with the next step let’s notice that in the second matrix we had one’s in  both spots that we needed them.  However, the only way to change the ­2 into a zero that we  had to have as well was to also change the 1 in the lower right corner as well.   This is okay.   Sometimes it will happen and trying to keep both ones will only cause problems.   Let’s finish the problem.                             The solution to this system is then   and  . [Return to Problems]   (c)  Let’s first write down the augmented matrix for this system.                                                              Now, in this case there isn’t a 1 in the first column and so we can’t just interchange two rows  as the first step.  However, notice that since all the entries in the first row have 3 as a factor we can divide the first row by 3 which will get a 1 in that spot and we won’t put any fractions into the problem.   Here is the work for this system.                                                The solution to this system is   and  . [Return to Problems]   It is important to note that the path we took to get the augmented matrices in this example into  the final form is not the only path that we could have used.   There are many different paths that  we could have gone down.  All the paths would have arrived at the same final augmented matrix  however so we should always choose the path that we feel is the easiest path.  Note as well that  different people may well feel that different paths are easier and so may well solve the systems  differently.  They will get the same solution however.   For two equations and two unknowns this process is probably a little more complicated than just  the straight forward solution process we used in the first section of this chapter.  This process  does start becoming useful when we start looking at larger systems.  So, let’s take a look at a  couple of systems with three equations in them.   In this case the process is basically identical except that there’s going to be more to do.  As with  two equations we will first set up the augmented matrix and then use row operations to put it into the form,       Once the augmented matrix is in this form the solution is  ,    and  .  As with the two equations case there really isn’t any set path to take in  getting the augmented matrix into this form.  The usual path is to get the 1’s in the correct places  and 0’s below them.  Once this is done we then try to get zeroes above the 1’s.   Let’s work a couple of examples to see how this works.

×

×

### BOOM! Enjoy Your Free Notes!

×

Looks like you've already subscribed to StudySoup, you won't need to purchase another subscription to get this material. To access this material simply click 'View Full Document'

## Why people love StudySoup

Bentley McCaw University of Florida

#### "I was shooting for a perfect 4.0 GPA this semester. Having StudySoup as a study aid was critical to helping me achieve my goal...and I nailed it!"

Jennifer McGill UCSF Med School

#### "Selling my MCAT study guides and notes has been a great source of side revenue while I'm in school. Some months I'm making over \$500! Plus, it makes me happy knowing that I'm helping future med students with their MCAT."

Bentley McCaw University of Florida

Forbes

#### "Their 'Elite Notetakers' are making over \$1,200/month in sales by creating high quality content that helps their classmates in a time of need."

Become an Elite Notetaker and start selling your notes online!
×

### Refund Policy

#### STUDYSOUP CANCELLATION POLICY

All subscriptions to StudySoup are paid in full at the time of subscribing. To change your credit card information or to cancel your subscription, go to "Edit Settings". All credit card information will be available there. If you should decide to cancel your subscription, it will continue to be valid until the next payment period, as all payments for the current period were made in advance. For special circumstances, please email support@studysoup.com

#### STUDYSOUP REFUND POLICY

StudySoup has more than 1 million course-specific study resources to help students study smarter. If you’re having trouble finding what you’re looking for, our customer support team can help you find what you need! Feel free to contact them here: support@studysoup.com

Recurring Subscriptions: If you have canceled your recurring subscription on the day of renewal and have not downloaded any documents, you may request a refund by submitting an email to support@studysoup.com